【洛谷 4799】世界冰球锦标赛 Meet in the Middle 折半搜索

题目描述
译自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」

今年的世界冰球锦标赛在捷克举行。Bobek 已经抵达布拉格，他不是任何团队的粉丝，也没有时间观念。他只是单纯的想去看几场比赛。如果他有足够的钱，他会去看所有的比赛。不幸的是，他的财产十分有限，他决定把所有财产都用来买门票。

给出 Bobek 的预算和每场比赛的票价，试求：如果总票价不超过预算，他有多少种观赛方案。如果存在以其中一种方案观看某场比赛而另一种方案不观看，则认为这两种方案不同。

输入格式
第一行，两个正整数 NN 和 M(1 \leq N \leq 40,1 \leq M \leq 10^{18})M(1≤N≤40,1≤M≤10
18
)，表示比赛的个数和 Bobek 那家徒四壁的财产。

第二行，NN 个以空格分隔的正整数，均不超过 10^{16}10
16
，代表每场比赛门票的价格。

输出格式
输出一行，表示方案的个数。由于 NN 十分大，注意：答案 \le 2^{40}≤2
40
。

输入输出样例
输入 #1 复制
5 1000
100 1500 500 500 1000
输出 #1 复制
8
说明/提示
样例解释
八种方案分别是：

一场都不看，溜了溜了
价格 100100 的比赛
第一场价格 500500 的比赛
第二场价格 500500 的比赛
价格 100100 的比赛和第一场价格 500500 的比赛
价格 100100 的比赛和第二场价格 500500 的比赛
两场价格 500500 的比赛
价格 10001000 的比赛

题意：有m元和n场球赛的价格，问有多少种观看球赛的方案

思路：

折半搜索的经典例题。爆搜，O（2ⁿ）的时间复杂度，这里N上限40，肯定不行。所以考虑折半（2²⁰）。
先对数组内前一半元素进行选or不选的操作，统计出所有可能的结果（费用）并排好序。然后后面一半搜索的时候，相当于合并，在后一半每次找完时，二分查找前面的费用里面有多少是小于等于当前 m - cost 的。最后累加答案即可。我这里多一步对原数组从大到小排序，减少递归树根节点附近的分支。

AC代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include <queue>
#include<sstream>
#include <stack>
#include <set>
#include <bitset>
#include<vector>
#define FAST ios::sync_with_stdio(false)
#define abs(a) ((a)>=0?(a):-(a))
#define sz(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;--i)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> PII;
const int maxn = 3e4+2;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;
const double pi=acos(-1.0);
const int mod = 1e9+7;
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){if(!b){d=a,x=1,y=0;}else{ex_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}//x=(x%(b/d)+(b/d))%(b/d);
inline ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){ll res=1;a%=MOD;while(b>0){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;b>>=1;}return res;}
inline ll inv(ll x,ll p){return qpow(x,p-2,p);}
inline ll Jos(ll n,ll k,ll s=1){ll res=0;rep(i,1,n+1) res=(res+k)%i;return (res+s)%n;}
inline ll read(){ ll f = 1; ll x = 0;char ch = getchar();while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') f=-1; ch = getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') x = (x<<3) + (x<<1) + ch - '0',  ch = getchar();return x*f; }
int dir[4][2] = { {1,0}, {-1,0},{0,1},{0,-1} };ll a[50];
ll n,m;
ll half_cost[1<<21];        //统计前一半搜索的结果
ll cnt = 0;
ll ans = 0;bool cmp(ll a, ll b)        //从大到小排序
{return a>b;
}void dfs1(ll l , ll r, ll cost)     //前半搜
{if(cost>m) return ;if(l>r){half_cost[cnt++] = cost;        //记录结果return ;}dfs1(l+1,r,cost);       //选 or 不选dfs1(l+1,r,cost+a[l]);
}void dfs2(ll l , ll r, ll cost)     //后半搜
{   if(cost>m) return ;if(l>r){ans += upper_bound(half_cost, half_cost+cnt, m - cost) - half_cost;        //统计前面一半里面有多少种搭配的结果比m - cost要小的 return ;}dfs2(l+1,r,cost);       //同上dfs2(l+1,r,cost+a[l]);
}int main()
{n = read(); m = read();rep(i,1,n) a[i] = read();sort(a+1,a+1+n,cmp);        //从大到小排序，剪枝ll mid = n>>1;dfs1(1,mid,0);sort(half_cost,half_cost+cnt);      //维护结果数组的单调性dfs2(mid+1,n,0);cout<<ans<<'\n';return 0;
}