0 前言

今天获知了，电机FOC包含了SVPWM、坐标转换、信号采集反馈、PID闭环控制等，这个控制策略，统称为FOC控制。一般SVPWM算法的实现是在静止的αβ坐标系上实现。而PID控制器由于是对直流参考信号的跟踪效果较好，因此三相交流电会经过坐标变换，在旋转的dq坐标轴上，可以用直流量描述电枢绕组的合成矢量。

FOC控制中，有两种坐标转换需要注意的，分别是clark变换，和park变换。clark变换将abc坐标系转换为αβ坐标系，而park变换将静止的αβ坐标系转换为旋转的dq坐标系。

1 clark变换

其实直接可以把转换公式列出。

$\left\{\begin{matrix} U_\alpha=U_a - cos(\pi /3)U_b - cos(\pi /3)U_c \\ U_\beta = sin(\pi/3)U_b-sin(\pi/3)U_c \end{matrix}\right.$

写成转换矩阵，就是：

$\begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix} =K \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -1/2\\ 0 & \frac{\sqrt3}{2} & - \frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_a\\ U_b \\ U_c \end{bmatrix}$

clark变换的逆变换：

$\left\{\begin{matrix} U_a = U_\alpha \\ U_b = cos(2\pi/3)U_\alpha + sin(\pi/3)U_beta \\ U_c = cos(2\pi/3)U_\alpha - sin(\pi/3)U_beta \end{matrix}\right.$

写成转换矩阵，就是：

$\begin{bmatrix} U_a\\ U_b \\ U_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix}$

将两个转换矩阵相乘，应该是一个单位矩阵，系数K的作用是可以将转换变为等幅值转换或者等功率转换。

当 $K=\frac{2}{3}$ ，是等幅值转换；当 $K=\sqrt\frac{2}{3}$ ，是等功率转换。

1.1 matlab仿真

在matlab/simulink中搭建仿真模型：

abcToAlphabeta中的代码：

function y = fcn(a,b,c)
%#emlalpha = a - b/2 - c/2;
beta = sqrt(3)/2 * (b - c);
y = (2/3)*[alpha;beta];

alphabetaToABC中的代码：

function y = fcn(alpha,beta)
%#emla = alpha;
b = -1/2 * alpha + sqrt(3)/2 * beta;
c = -1/2 * alpha - sqrt(3)/2 * beta;y = [a;b;c];

仿真波形：

我在这里使用的是等幅值变换。因为这里调制系数为1，各个正弦波的幅值都是1。假如使用等功率变换，alphabeta坐标系上的幅值会超过1，此时若直接经过SVPWM算法，会变成过调制。

2 park变换

通过几何变换，可以直接得到

$\left\{\begin{matrix} U_d=U_\alpha \cos\left ( \theta \right )+U_\beta\sin\left ( \theta \right ) \\ U_q=-U_\alpha \sin\left ( \theta \right )+U_\beta\cos\left ( \theta \right ) \end{matrix}\right.$

图中 $\theta$ 就是d轴和α轴之间的夹角。我们也可以用q轴和α轴之间的夹角进行转换，但是会影响矩阵的参数。故还是采用d轴和α轴之间的夹角。因为我参考了wikipedia的alphabeta transformation和TI的controlSuite里面的资料，都是使用这个夹角去推转换矩阵的。因此不转牛角尖了。

写成矩阵的形式：

$\begin{bmatrix} U_d\\ U_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\left ( \theta \right ) & \sin\left ( \theta \right ) \\ -\sin\left ( \theta \right ) & \cos\left ( \theta \right ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix}$

那么逆变换就是：

$\left\{\begin{matrix} U_\alpha=U_d\cos\left ( \theta \right )-U_q\sin\left ( \theta \right ) \\ U_\beta=U_d\sin\left ( \theta \right )+U_q\cos\left ( \theta \right ) \end{matrix}\right.$

$\begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\left ( \theta \right ) & -\sin\left ( \theta \right ) \\ \sin\left ( \theta \right ) & \cos\left ( \theta \right ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_d\\ U_q \end{bmatrix}$

2.1 仿真

搭建仿真模型：

alphabetaToDQ代码：

function y = fcn(alpha,beta, c)
%#eml
d = cos(c)* alpha + sin(c)*beta;
q = -sin(c)* alpha + cos(c)*beta;y=[d;q];

DQToAlphabeta代码：

function y = fcn(d,q, c)
%#eml
alpha = cos(c) * d - sin(c)*q;
beta =  sin(c) * d + cos(c)*q;y=[alpha;beta];

波形：

此时注意到：

现在三相abc的波形函数是：

$\left\{\begin{matrix} U_a = U_m\cos\left ( \omega t \right ) \\ U_b = U_m\cos\left ( \omega t- \frac{2\pi}{3} \right ) \\ U_c = U_m\cos\left ( \omega t+ \frac{2\pi}{3} \right ) \end{matrix}\right.$

假如需要反转，那么把输入改为：

$\left\{\begin{matrix} U_a = U_m\cos\left ( \omega t \right ) \\ U_b = U_m\cos\left ( \omega t+ \frac{2\pi}{3} \right ) \\ U_c = U_m\cos\left ( \omega t- \frac{2\pi}{3} \right ) \end{matrix}\right.$

同时把仿真模型中的constant改为 -2*pi*10

可以得到：

3 C语言

以下代码来自TI的controlSUITE。在此特别鸣谢TI。

3.1 clarke.h

/* =================================================================================
File name:       CLARKE.H
===================================================================================*/#ifndef __CLARKE_H__
#define __CLARKE_H__typedef struct {  _iq  As;          // Input: phase-a stator variable_iq  Bs;           // Input: phase-b stator variable_iq  Cs;           // Input: phase-c stator variable  _iq  Alpha;      // Output: stationary d-axis stator variable _iq  Beta;     // Output: stationary q-axis stator variable} CLARKE;               /*-----------------------------------------------------------------------------Default initalizer for the CLARKE object.
-----------------------------------------------------------------------------*/
#define CLARKE_DEFAULTS { 0, \0, \0, \0, \0, \} /*------------------------------------------------------------------------------CLARKE Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*///  1/sqrt(3) = 0.57735026918963
#define  ONEbySQRT3   0.57735026918963    /* 1/sqrt(3) */// Clarke transform macro (with 2 currents)
//==========================================
#define CLARKE_MACRO(v)                                     \
v.Alpha = v.As;                                                \
v.Beta = _IQmpy((v.As +_IQmpy2(v.Bs)),_IQ(ONEbySQRT3));// Clarke transform macro (with 3 currents)
//==========================================
#define CLARKE1_MACRO(v)                                    \
v.Alpha = v.As;                                                \
v.Beta  = _IQmpy((v.Bs - v.Cs),_IQ(ONEbySQRT3));#endif // __CLARKE_H__

3.2 park.h

/* =================================================================================
File name:       PARK.H
===================================================================================*/#ifndef __PARK_H__
#define __PARK_H__typedef struct {  _iq  Alpha;         // Input: stationary d-axis stator variable _iq  Beta;      // Input: stationary q-axis stator variable _iq  Angle;     // Input: rotating angle (pu) _iq  Ds;          // Output: rotating d-axis stator variable _iq  Qs;         // Output: rotating q-axis stator variable_iq  Sine;_iq  Cosine;     } PARK;                /*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalizer for the PARK object.
-----------------------------------------------------------------------------*/
#define PARK_DEFAULTS {   0, \0, \0, \0, \0, \0, \0, \}/*------------------------------------------------------------------------------PARK Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/#define PARK_MACRO(v)                                           \\v.Ds = _IQmpy(v.Alpha,v.Cosine) + _IQmpy(v.Beta,v.Sine);    \v.Qs = _IQmpy(v.Beta,v.Cosine) - _IQmpy(v.Alpha,v.Sine);#endif // __PARK_H__

3.3 ipark.h

/* =================================================================================
File name:       IPARK.H
===================================================================================*/#ifndef __IPARK_H__
#define __IPARK_H__typedef struct {  _iq  Alpha;        // Output: stationary d-axis stator variable_iq  Beta;      // Output: stationary q-axis stator variable_iq  Angle;     // Input: rotating angle (pu)_iq  Ds;           // Input: rotating d-axis stator variable_iq  Qs;           // Input: rotating q-axis stator variable_iq  Sine;     // Input: Sine term_iq  Cosine;     // Input: Cosine term} IPARK;               /*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalizer for the IPARK object.
-----------------------------------------------------------------------------*/
#define IPARK_DEFAULTS {  0, \0, \0, \0, \0, \0, \0, \}/*------------------------------------------------------------------------------Inverse PARK Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/#define IPARK_MACRO(v)                                      \\
v.Alpha = _IQmpy(v.Ds,v.Cosine) - _IQmpy(v.Qs,v.Sine);     \
v.Beta  = _IQmpy(v.Qs,v.Cosine) + _IQmpy(v.Ds,v.Sine);#endif // __IPARK_H__

小结

坐标变换在FOC中也是重要的部分。本文介绍了clark变换和park变换。这两种变换其实在网上资料十分丰富了。但在这里还是写了一遍。一方面是贡献自己的能力，另一方面是满足自己的收藏癖。假如需要重新编程，那么我还是会重新找出资料。但是目前TI的资料也很丰富，我往下在实物上实现FOC的话，估计会从现有的代码上修改。

现在干活都做LED了，看维基上面的clarke变换，让我想起了以前的日子。以前没搞懂的坐标公式和PID公式，多推几遍，现在也越来越熟悉了。

参考资料1：https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha%E2%80%93beta_transformation

参考资料2：http://www.ti.com/controlsuite

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