手把手教你电机FOC控制【一】

文章作者: 范子琦
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FOC框架引入

三向电机，分别为UVW三向，角度互差120度。若使用BLDC控制方法，如下图每次换向增加60度，转子只能到达六个位置，所以六步换向时会有振动。使用FOC控制方法可以使转子到达任意角度，所以运行起来会更加平滑。

如果想到达40度的位置，只需要在0度方向通电一段时间，在60度方向通电一段时间，再在空矢量的状态下通电一段时间（全桥000或111的位置为空矢量，空矢量的时长用来调节扭矩。后面会讲到），三段时间组成一个周期，以这个周期循环产生PWM，即可锁定至40度。若想到达其他角度，只需改变0度和60度的通电时长比例。

要想使磁场旋转起来，就需要输入正弦电压，但我们输入的是直流电，我们马上想到可以使用PWM波。通过不断改变PWM脉宽就可以模拟正弦电压，体现在电流上则为正弦电流。

下图为一个完整的FOC流程图：

我们先来看正向通路：输入 Id_refI_{d\_ref}Id_ref 和 Iq_refI_{q\_ref}Iq_ref 与下文反馈通路采样得到的电流 IdI_dId 和 IqI_qIq 进行PID控制输出 UdU_dUd 和 UqU_qUq （输入的 Id_refI_{d\_ref}Id_ref 通常为0， Iq_refI_{q\_ref}Iq_ref 前通常还需要接入一个速度PID构成速度环），再通过反Park变换转换成 UαU_\alphaUα 和 UβU_\betaUβ ，通过SVPWM模块控制定时器产生六路互补的PWM信号，最后使用PWM信号控制全桥MOS管的通断，产生三向电压使电机转动。

再来看反馈通路：通过采样电阻采集任意两相电流，根据基尔霍夫电流定律可以算出第三相电流，将三向电流通过Clark变换转化成 IαI_\alphaIα 和 IβI_\betaIβ ，再通过Park变换转换成 IdI_dId 和 IqI_qIq ，作为反馈传入PID控制器构成电流环。

上图中的Park变换和反Park变换需要当前的角度作为输入；速度PID需要速度作为反馈。所以需要获得电机的速度与角度。角度和速度的获取方法分为有感和无感。有感方式使用霍尔元件（Hall Sensor），安装在电机上就可以检测电机磁铁的位置。无感使用观测器（observer）获得角度速度信息，本文将使用扩展卡尔曼滤波观测器（EKF），输入为 UαU_\alphaUα 、 UβU_\betaUβ 、 IαI_\alphaIα 、 IβI_\betaIβ 。使用无感方式不需要霍尔传感器，可以减少连接线的数量，也可以减小成本。

坐标变换

为什么要使用坐标变换？电机控制大多是在控制速度/转矩，需要用PID闭环控制正弦交流电压的幅值和角度，不是很容易实现，所以通过坐标变化把正弦交流信息分解成角度信息（Q轴控制转矩）和幅值信息（D轴控制磁场）单独控制。

FOC的变换中要满足等幅值变换，即变换前后幅值不变。

坐标变换都分为正向变换和反向变换，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。

下面的变换均采用联立和矩阵两种形式表示，以方便使用。

Clark变换

Clark变换实现了三向坐标系 (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) 与直角坐标系 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 间的转换。

正向Clark变换

Clark反变换则将两相信号转换为三相信号。已知三相坐标系 (Ia,Ib,Ic)(I_a,I_b,I_c)(Ia,Ib,Ic) ，这三个基向量不是正交的，所以可以将其正交化为一个直角坐标系，命名为 α−β\alpha-\betaα−β 坐标系，变换公式为：
{Iα=Ia−Ibcos60−Iccos60=Ia−12Ib−12IcIβ=Ibcos30−Iccos30=32Ib−32Ic\left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} I_\alpha&=I_a-I_b\text{cos}60-I_c\text{cos}60 \\ &=I_a-\frac{1}{2}I_b-\frac{1}{2}I_c \end{aligned} \\ \begin{aligned} I_\beta&=I_b\text{cos}30-I_c\text{cos}30 \\ &=\frac{\sqrt3}{2}I_b-\frac{\sqrt3}{2}I_c \end{aligned} \end{array}\right. ⎩⎨⎧Iα=Ia−Ibcos60−Iccos60=Ia−21Ib−21IcIβ=Ibcos30−Iccos30=23Ib−23Ic

表示为矩阵形式：
[IαIβ]=[1−12−12032−32][IaIbIc]\left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \\ I_{c} \end{array}\right] [IαIβ]=[10−2123−21−23]⎣⎡IaIbIc⎦⎤
我们一般在电路中只采集两相电流，第三相电流可以使用基尔霍夫电流定律得出（ Ia+Ib+Ic=0I_a+I_b+I_c=0Ia+Ib+Ic=0 ），故上式也可整理为以下形式：
{Iα=32IaIβ=32Ia+3Ib\left\{\begin{array}{l} I_\alpha=\frac{3}{2}I_a \\ I_\beta=\frac{\sqrt3}{2}I_a+\sqrt3I_b \end{array}\right. {Iα=23IaIβ=23Ia+3Ib

矩阵形式：
[IαIβ]=[320323][IaIb]\left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{2} & 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \sqrt{3} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \end{array}\right] [IαIβ]=[232303][IaIb]
由于变换前后 IaI_aIa 和 IαI_\alphaIα 幅值要相同，所以要进行等幅值变换，变换系数为 23\frac{2}{3}32 ，即变为
{Iα=IaIβ=13(Ia+2Ib)\left\{\begin{array}{l} I_\alpha=I_a \\ I_\beta=\frac{1}{\sqrt3}(I_a+2I_b) \end{array}\right. {Iα=IaIβ=31(Ia+2Ib)
矩阵形式：
[IαIβ]=[101323][IaIb]\left[\begin{array}{c} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_{a} \\ I_{b} \end{array}\right] [IαIβ]=[131032][IaIb]
（这里的系数在后文SVPWM里相电压的幅值与电压空间矢量之间有一个 32\frac{3}{2}23 的系数相抵消）

MATLAB实现为：

反向Clark变换

反Clark变换则将三相信号转换为两相信号。根据图可以写出：
{Ua=UαUb=−12Uα+32UβUc=−12Uα−32Uβ\left\{\begin{array}{l} U_{a} = U_{\alpha} \\ U_{b} = -\frac{1}{2}U_{\alpha} + \frac{\sqrt3}{2}U_{\beta}\\ U_{c} = -\frac{1}{2}U_{\alpha} - \frac{\sqrt3}{2}U_{\beta} \end{array}\right. ⎩⎨⎧Ua=UαUb=−21Uα+23UβUc=−21Uα−23Uβ
矩阵形式：
[UaUbUc]=[10−1232−12−32][UαUβ]\left[\begin{array}{c} U_{a} \\ U_{b} \\ U_{c} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} U_{\alpha} \\ U_{\beta} \end{array}\right] ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=⎣⎡1−21−21023−23⎦⎤[UαUβ]

MATLAB实现为：

Park变换

Park变换实现了两相坐标系 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 与转子坐标系 (d,q)(d,q)(d,q) 间的转换，此变换可以将正弦变量线性化。其中 ddd 指向转子中心， qqq 指向切线方向， θ\thetaθ 是转子当前的角度，也就是说 d−qd-qd−q 坐标系始终跟着转子同步旋转。

正向Park变换

则根据上图可以写出
{Id=Iαcos⁡θ+Iβsin⁡θIq=−Iαsin⁡θ+Iβcos⁡θ\left\{\begin{array}{l} I_{d}=I_{\alpha} \cos\theta+I_{\beta} \sin\theta \\ I_{q}=-I_{\alpha} \sin\theta+I_{\beta} \cos\theta \end{array}\right. {Id=Iαcosθ+IβsinθIq=−Iαsinθ+Iβcosθ
很明显上述变换可以用旋转矩阵来表示，使用矩阵形式可以很方便地写出：
[IdIq]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][IαIβ]\left[\begin{array}{l} I_{d} \\ I_{q} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_{\alpha} \\ I_{\beta} \end{array}\right] [IdIq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][IαIβ]
（如果 ddd 轴为0，则功率全部输出在 qqq 轴上。）

MATLAB实现为

反Park变换

根据上面的推导可以求得反Park变换
{Uα=Udcos⁡θ−Uqsin⁡θUβ=Udsin⁡θ+Uqcos⁡θ\left\{\begin{array}{l} U_{\alpha}=U_{d} \cos\theta-U_{q} \sin\theta \\ U_{\beta}= U_{d} \sin\theta+U_{q} \cos\theta \end{array}\right. {Uα=Udcosθ−UqsinθUβ=Udsinθ+Uqcosθ
同理，使用旋转矩阵可以求出反变换的系数矩阵：
[UαUβ]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][UdUq]\left[\begin{array}{l} U_{\alpha} \\ U_{\beta} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} U_{d} \\ U_{q} \end{array}\right] [UαUβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][UdUq]

MATLAB实现为

MATLAB仿真

为了更清楚地仿真，这里不用矩阵形式表示，如需矩阵形式可以看我写的另一篇文章。

请注意，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。但是在这节的仿真中，把正变换和反变换连在一起，这样做没有实际意义，只是为了验证变化算法。

输入Vd为0，Vq为1，角度为由0到2pi的连续值。

再来看子模块内部，输入经过两个逆变换，再经过两个正变换。

运行查看波形（新版本MATLAB常值输入为一个圆圈）