牛顿迭代法(牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）)

起源[编辑]

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736年公开发表）。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明[编辑]

蓝线表示方程 f而红线表示切线. 可以看出 x _n+1比 x _n更靠近 f所要求的根 x.

首先，选择一个接近函数零点的，计算相应的和切线斜率（这里表示函数的导数）。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标，也就是求如下方程的解：

我们将新求得的点的坐标命名为，通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

3示例编辑

欧几里德算法

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

int Gcd_2(int a,int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/

{

if (a<=0 || b<=0)/*预防错误*/

return 0;

int temp;

while (b > 0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/

{

temp = a % b;/*迭代关系式*/

a = b;

b = temp;

}

return a;

}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

斐波那契数列

还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>2时）。

在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列

{

if (n < 1）/*预防错误*/

return 0;

if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需迭代*/

return 1;

int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代变量*/

int i;

for(i=3; i<=n; ++i)/*用i的值来限制迭代的次数*/

{

fn = f1 + f2; /*迭代关系式*/

f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面

f2 = fn;

}

return fn;

}

4C语言代码编辑

double func(double x) //函数

{

return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;

}

double func1(double x) //导函数

{

return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;

}

int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数

{

double x1,x0;

int k;

x0=*x;

for(k=0;k<maxcyc;k++)

{

if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0

{

printf("迭代过程中导数为0!\n");

return 0;

}

x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算

if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1））<precision) //达到结束条件

{

*x=x1; //返回结果

return 1;

}

else //未达到结束条件

x0=x1; //准备下一次迭代

}

printf("迭代次数超过预期！\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度

return 0;

}

int main()

{

double x,precision;

int maxcyc;

printf("输入初始迭代值x0:");

scanf("%lf",&x);

printf("输入最大迭代次数：");

scanf("%d",&maxcyc);

printf("迭代要求的精度：");

scanf("%lf",&precision);

if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函数返回值为1

printf("该值附近的根为：%lf\n",x);

else //若函数返回值为0

printf("迭代失败！\n");

getch();

return 0;

}

5C++代码编辑

//此函数是用来求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解

//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

int main()

{

double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);

double a,b,c,d;

double x=10000.0;

cout<<"请依次输入方程四个系数：";

cin>>a>>b>>c>>d;

x=diedai(a,b,c,d,x);

cout<<x<<endl;

return 0;

}

double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)

{

while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001）

{

x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c);

}

return x;

}

6matlab代码编辑

定义函数

function y=f(x)

y=f(x）；%函数f(x）的表达式

end

function z=h(x)

z=h(x）；%函数h(x）的表达式

end

主程序

x=X;%迭代初值

i=0;%迭代次数计算

while i<= 100%迭代次数

x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式

if abs(x0-X)>0.01；%收敛判断

X=x0;

else break

end

i=i+1;

end

fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果