详解最小生成树中的克鲁斯卡尔算法

0x01.关于克鲁斯卡尔算法

Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。克鲁斯卡尔算法主要针对边集数组展开。

0x02.基础代码

这个算法主要是针对边集数组，先来看一下边集数组的结构:

//边集数组
typedef struct
{int begin;int end;int weight;
}Edge;

通常用到邻接矩阵，所以还需要由邻接矩阵转化为边集数组。另外这个算法还需要按照边的权值升序排序。

void OperationEdge(Graph G, Edge* edges)
{int i, j,k;k = 0;for (i = 0; i < G.numv; i++){for (j = i+1; j < G.numv; j++)//只需要转化邻接矩阵的一半，无向图{if (G.edge[i][j] != INTMAX && G.edge[i][j] != 0){edges[k].begin = i;edges[k].end = j;edges[k].weight = G.edge[i][j];k++;}}}for (i = 0; i < k-1; i++)//简单交换排序{for (j = i + 1; j < k; j++){if (edges[i].weight > edges[j].weight){Edge tmp;tmp = edges[i];edges[i] = edges[j];edges[j] = tmp;}}}
}

克鲁斯卡尔算法代码（简单版）：

void MinSpanTree_Kruskal(Graph G)
{int i, n, m;Edge edges[MAXSIZE];//定义边集数组int parent[MAXSIZE];//用于判断树是否会成环OperationEdge(G, edges);//邻接矩阵向边集数组转换，并升序排序for (i = 0; i < G.numv; i++)//初始化{parent[i] = 0;}int cou = 0;//计数器，记录实际上已加入生成树的边数for (i = 0; i < G.nume; i++){if (cou == G.numv - 1)//加入生成树的边等于顶点数-1，已经完成了最小生成树的建立，退出循环{printf("最小生成树构造完成！！！");break;}n = Find(parent, edges[i].begin);m = Find(parent, edges[i].end);if (n != m)//没有成环，加入生成树{cou++;parent[n] = m;printf("边 %c到%c ，权值为 %d ，已加入生成树", G.ver[edges[i].begin], G.ver[edges[i].end], edges[i].weight);}}
}

0x03.过程详解

首先看一个最原始的图：

再来看一下边集数组中的值：

开始模拟运行：

第一次循环，由于parent数组内容都为0，所以进入Find函数后之间返回，n=4，m=7，此时n于m不相等。parent[4]=7，边E--H加入生成树。（具体parent如何发挥作用看下文）

第二次循环，0进入Find函数后之间返回，n=0，1也立即返回，m=1，此时parent[0]=1，边A--B加入生成树。

第三次循环，0进入Find函数后，由于Find[0]=1，所以开始再一次小循环，f=parent[0]=1，parent[1]=0，退出小循环，所以返回1，n=1，5进入Find函数后，立即返回，m=5，parent[1]=5，边A--F加入生成树。

第四次循环，1进入Find函数后，parent[1]=5，所以继续进行小循环，f=parent[1]=5，parent[5]=0，退出循环，n=5，8进入循环后，立即退出，m=8，parent[5]=8，边B--G加入生成树。

此时的parent为[1,5,0,0,7,8,0,0,0].

第五次循环，3进入Find函数，parent[3]=0，立即返回，n=3，7进入Find函数，立即返回，m=7，parent[3]=7，边D--H加入生成树。

此时的parent为[1,5,0,7,7,8,0,0,0].

第六次循环，1进入Find函数，parent[1]=5，继续，f=parent[1]=5，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=0，返回，n=8，6进入Find函数，parent[6]=0，返回，m=6，parent[8]=6，边B--G加入生成树。

此时的parent为[1,5,0,7,7,8,0,0,6].

第七次循环，5进入Find函数，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=6，f=parent[8]=6，parent[6]=0，返回，n=6，6进入函数，parent[6]=0，返回，m=6，此时m=n，成环，由图可以看出的确成环，具体原理在下方。

第八次循环，1进入Find函数，parent[1]=5，f=parengt[1]=5，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=6，f=parent[6]=0，返回，n=6，2进入函数，parent[2]=0，返回，m=2，不成环，parent[6]=2，边B--C加入生成树。

此时的parent为[1,5,0,7,7,8,2,0,6].

第九次循环，6进入Find函数，parent[6]=2，f=parent[6]=2，parent[2]=0，返回，n=2，7进入循环，parent[7]=0，返回，m=7，不成环，parent[2]=7，边G--H加入生成树。

由于9个顶点只需要八条边就能完成生成树，所以到此，生成树其实已经完成。我们可以试一试，此时，继续进入parent函数会发生什么。

第十次循环，3进入parent函数，parent[3]=7，f=parent[3]=7，parent[7]=0，返回，n=7，4进入循环，parent[4]=7，parent[7]=0，m=7，我们发现，当parent数组中只有一个值为0的情况下，任意两个数传进Find函数，一定都是等于那个值为0的下标，后序所有的循环无意义。

0x04.原理详解

parent数组和Find函数究竟如何理解？

parent数组实际上是并查集这种数据结构的一种表达，关于并查集可以百度了解。

在这个算法的不断加入生成树中，其实形成了许多的小树，而整个算法的目的就是将这些小树连接成一棵树，Find函数的目的就是找到每棵小树的根结点，也就是说返回的n和m的值其实是两棵小树的根节点，如果相等，那么就有两棵小树的根结点相同，既然是两棵小树，根节点相同了，肯定就是连通了，如果不相等，就连通两棵小树，连通的代码是parent[n]=m，这端代码的实际含义就是连通了两棵小树，并以新加入的结点作为的根结点，其中Find函数的那个小循环其实就是寻找一颗小树的根结点，如果和其它没有连通，那么这条边单独做为一棵小树，并以一头为根，f=parent[f]，这段代码其实就是不断向上去找的含义，去找到根结点。

原理如上了，那么我们怎么去具体理解这些代码呢？

对于parent数组，我们可以看看什么时候往里加了元素，加的元素的下标和值都是什么意义，不难发现，parent数组一直只是往里添加并查看元素，并没有改变过里面元素的内容，添加元素的关键代码就是parent[n]=m，也就是说在n的位置上添加数值m，我们从刚开始的时候去看，刚开始parent里面都为0，进入Find函数都是直接返回，如第一条边，4，7，直接返回后，有parent[4]=7，这个就是说，下标为4的顶点的根设置为7，我们再来看一下第二个循环，0，1，都是立即返回，parent[0]=1，说明下标为0的结点的根为1，第三次，0，5，进入Find函数后，返回n=1，也就是说定的顶点A的根是1，也就是B，m=5，然后有parent[1]=5，说明顶点B的根结点变成了5，就这样一次理解，我们就可以知道parent数组里面的内容含义是什么。

对于Find函数，我们可以看一下参数和返回分别是什么样的情况，参数是f，也就是边集数组里的边的一个端点，返回条件是，parent数组中的f位置的值为0，其实也就是找到根结点了，f=parent[f]，就是不断的向上去找根结点，可以理解为一个顶点的根节点找到后，再继续找这个根结点的根节点，最后找到了这棵树的根结点。

0x05.克鲁斯卡尔算法感悟

这个算法巧妙的利用了一个已经排序的边集数组，然后从头开始去把里面的边加入生成树，应为是有序的，所以从一开始，就已经满足了最小的这个条件，接下来只要判断这些边能不能生成树，也就是由没有闭合就行了，代码简便不少，非常精炼。

0x06.普里姆算法和克鲁斯卡尔算法比较

普里姆主要针对顶点展开，而克鲁斯卡尔主要针对边，各有优势，前者适合稠密图，后者适合稀疏图。

本章结束。

【数据结构基础整理】图--06：克鲁斯卡尔算法详解相关推荐

java克鲁斯卡尔算法_Java语言基于无向有权图实现克鲁斯卡尔算法代码示例
所谓有权图,就是图中的每一条边上都会有相应的一个或一组值.通常情况下,这个值只是一个数字如:在交通运输网中,边上的权值可能表示的是路程,也可能表示的是运输费用(显然二者都是数字).不过,边上的权值也 ...
克鲁斯卡尔算法c语言,Kruskal算法(一)之 C语言详解
最小生成树在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边,构成一棵极小连通子图,并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小,则称其为连通网的最小生成树. 例如,对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和 ...
c语言克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔思路以及代码分析我们用邻接矩阵来表示该图,克鲁斯卡尔算法思想及找到最小边,查看是否形成回路,若形成回路则这条边不形成,若不形成回路则构成最小路径,以此类推.(思路和代码都在下方) 第一步e ...
SF图像滤镜/美颜/美妆算法详解与实战
本专栏将结合本热多年相关经验,从传统算法到火热的AI算法,给大家详细讲解目前在PC图像软件.手机图像处理类应用app,以及视频直播等应用类型中,图像视频的滤镜特效,人像美颜美妆特效的算法理论,并结合具 ...
【数据结构】图的应用（普利姆算法、克鲁斯卡尔算法、迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法、拓扑排序）
最小生成树什么是最小生成树是一棵树 - 无回路 - |V|个顶点一定有|V|-1条边是生成树 - 包含全部顶点 - |V|-1条边全在图里贪心算法什么是"贪":每一步都要 ...
克鲁斯卡尔算法（Kruskal Algorithm）——图的最小生成树
听骚话讲作者 [手动滑稽] 其实早就该写这篇博客啦. 图的最小生成树一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的最少的边.最小生成树可以 ...
大话数据结构-普里姆算法（Prim）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
5 最小生成树构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树,即Minimum Cost Spanning Tree,最小生成树通常是基于无向网/有向网构造的. 找连通网的最小生成树,经典的有两种 ...
数据结构与算法｜最小生成树算法（普里姆算法、克鲁斯卡尔算法）
最小生成树算法 C语言代码部分来自小甲鱼的<数据结构与算法> 文章目录最小生成树算法一.普里姆(Prim)算法 1.C语言代码 2.算法思路二.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 1. ...
最小生成树------克鲁斯卡尔算法（数据结构）
树(Tree):如果一个无向连通图中不存在回路,则这种图称为树. 生成树 (Spanning Tree):无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树. 生成树是连通图 ...

【数据结构基础整理】图--06：克鲁斯卡尔算法详解