最小生成树

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

第1步：将边加入R中。

边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

在将加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。

(02) D的终点是F。

(03) E的终点是F。

(04) F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

克鲁斯卡尔算法的代码说明

有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵

typedef struct _graph

{

char vexs[MAX]; // 顶点集合

int vexnum; // 顶点数

int edgnum; // 边数

int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵

}Graph, *PGraph;

// 边的结构体

typedef struct _EdgeData

{

char start; // 边的起点

char end; // 边的终点

int weight; // 边的权重

}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。

vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2. 克鲁斯卡尔算法

/*

* 克鲁斯卡尔(Kruskal)最小生成树

*/

void kruskal(Graph G)

{

int i,m,n,p1,p2;

int length;

int index = 0; // rets数组的索引

int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。

EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边

EData *edges; // 图对应的所有边

// 获取"图中所有的边"

edges = get_edges(G);

// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)

sorted_edges(edges, G.edgnum);

for (i=0; i

{

p1 = get_position(G, edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号

p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号

m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点

n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点

// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路

if (m != n)

{

vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n

rets[index++] = edges[i]; // 保存结果

}

}

free(edges);

// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息

length = 0;

for (i = 0; i < index; i++)

length += rets[i].weight;

printf("Kruskal=%d: ", length);

for (i = 0; i < index; i++)

printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);

printf("\n");

}

克鲁斯卡尔算法的源码

这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的克鲁斯卡尔算法源码。

Floyd算法&lpar;一&rpar;之 C语言详解

本章介绍弗洛伊德算法.和以往一样,本文会先对弗洛伊德算法的理论论知识进行介绍,然后给出C语言的实现.后续再分别给出C++和Java版本的实现. 目录 1. 弗洛伊德算法介绍 2. 弗洛伊德算法图解 3 ...

Dijkstra算法&lpar;一&rpar;之 C语言详解

本章介绍迪杰斯特拉算法.和以往一样,本文会先对迪杰斯特拉算法的理论论知识进行介绍,然后给出C语言的实现.后续再分别给出C++和Java版本的实现. 目录 1. 迪杰斯特拉算法介绍 2. 迪杰斯特拉算法 ...

Prim算法&lpar;一&rpar;之 C语言详解

本章介绍普里姆算法.和以往一样,本文会先对普里姆算法的理论论知识进行介绍,然后给出C语言的实现.后续再分别给出C++和Java版本的实现. 目录 1. 普里姆算法介绍 2. 普里姆算法图解 3. 普里 ...

原来Github上的README&period;md文件这么有意思——Markdown语言详解(sublime text2 版本)

一直想学习 Markdown 语言,想起以前读的一篇 赵凯强 的 博客 ,该篇博主 使用的是Mac系统, ...

Kruskal算法 - C语言详解

最小生成树 在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边,构成一棵极小连通子图,并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小,则称其为连通网的最小生成树.  例如,对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总 ...

最小生成树问题---Prim算法与Kruskal算法实现(MATLAB语言实现)

2015-12-17晚,复习,甚是无聊,阅一书,得知最小生成树问题(Minimum spanning tree)问题.记之. 何为树:连通且不含圈的图称为树. 图T= ...

Java Web----EL&lpar;表达式语言&rpar;详解

Java Web中的EL(表达式语言)详解 表达式语言(Expression Language)简称EL,它是JSP2.0中引入的一个新内容.通过EL可以简化在JSP开发中对对象的引用,从而规范页面 ...

二分算法题目训练&lpar;二&rpar;——Exams详解

CodeForces732D——Exams 详解 Exam 题目描述(google翻译) Vasiliy的考试期限将持续n天.他必须通过m门科目的考试.受试者编号为1至m. 大约每天我们都知道当天可以 ...

拓扑排序&lpar;一&rpar;之 C语言详解

本章介绍图的拓扑排序.和以往一样,本文会先对拓扑排序的理论知识进行介绍,然后给出C语言的实现.后续再分别给出C++和Java版本的实现. 目录 1. 拓扑排序介绍 2. 拓扑排序的算法图解 3. 拓扑 ...

随机推荐

javax&period;crypto&period;BadPaddingException&colon; Given final block not properly padded 解决方法

下面的 Des 加密解密代码,在加密时正常,但是在解密是抛出错误: javax.crypto.BadPaddingException: Given final block not properly p ...

MVC4过滤器

MVC4提供的四种基本类型过滤器接口,IAuthorizationFilter.IActionFilter.IResultFilter和IExceptionFilter,可通过继承对应的接口和Filt ...

import tf

不知道为什么,tensorflow要最后import,否则会对matplotlib的imread产生影响,产生IO错误,异常莫名其妙

atitit&period;web 推送实现方案集合&lpar;2&rpar;---百度云&comma;jpush 极光推送 &comma;个推的选型比较&period;o99

atitit.web 推送实现方案集合(2)---百度云,jpush 极光推送 ,个推的选型比较.o99 1.1. 云推送有推送次数或频率的限制吗? 1 1.2. 推送的消息长度 1 1.3. 离线消 ...

sql server 内置ETL工具学习(一) BCP篇

sql server 内置ETL工具学习 常用的导入方式:bcp, BULK INSERT,OPENROWSET和 SSIS. BCP BCP全称BULK COPY PROGRAM 有以下特点: 命令 ...

漫谈项目设计&amp&semi;重构&amp&semi;性能优化

重构的好处:重构能够改进软件设计,随着项目需求的变更,项目体积的变大早已与最初的设计大相径庭,代码结构变得凌乱.复杂,如果不进行重构,则很难添加新的功能. 1.使项目代码更容易理解很多情况下是由于项目 ...

jsp-2 简单的servlet连接mysql数据库 增删改查

连接mysql数据库的操作 有增删改查 用的包有 commons-lang3-3.5 mysql-connector-java-5.1.40-bin 但是实际上也就是 数据查询和数据处理两种 所以对数 ...

MTK平台 Android4&period;0&period;3 定制关机动画

实现效果是这样的,长按电源键弹出关机对话框,选择关机项将呈现关机动画和音乐直到正常关机完毕,下面说说具体思路及实现代码 找到长按电源键控制代码 /frameworks/base/policy/src/ ...

Django缓存机制

缓存介绍 在动态网站中,用户所有的请求,服务器都会去数据库中进行相应的增删改查,渲染模板,执行业务逻辑,最后生成用户看到的页面. 当一个网站的用户访问量很大的时候,每一次的后台操作,都会消耗很多的服务 ...

Day 4-4 shutil模块

常用方法: import shutil f = open("conf.ini", "r") f1 = open("shutil.ini", ...