线性代数基础10--特征值与特征向量,行列式的空间关系

1,逆矩阵公式

对于n阶矩阵来说,逆可以这样求出来,其中C矩阵为对应元素代数余子式组成的矩阵,C的转置就是我们熟悉的伴随矩阵.也可以用来求A的逆.

那么为什么会这样呢?我们应该证明这个公式
首先,如果一个元素来自某一行,但是它×另一行元素的对应列数的代数余子式那么结果为0.如上图中第一行[a,b]×第二列[-b,a]=0
为什么这样呢?简单的理解就是,第i行的元素分别乘以对应的第j行元素的代数余子式，就相当于把原行列式的第j行元素替换成第i行元素，再按第j行展开。那么第i行与第j行是相同的,行列式也就为0.

所以就有

这里注意detA×I是矩阵相乘而不是行列式.

从这里我们可以得到,如果我们改变a11的元素,那么逆矩阵会发生什么样的变化.

2,AX=B,克拉默法则

这里B表示C的转置×b,B1表示将A矩阵的第几列用b的对应列代替,这里x就表示解的分量.

虽然克拉默法则只使用代数运算,但是运算太过于复杂,所以不经常使用.

3,通过行列式求体积

我们求一个方阵n×n的行列式,其实是在一个盒子的体积.它的三条边是由对应行元素组成的向量,这样在空间中就构成了一个盒子,行列式的绝对值就表示为它的体积.其实行列式正负表示方向,但是不重要.
所以,单位矩阵对应单位立方体.
再往下想,Q正交矩阵,表示的是I立方体的旋转,所以说Q的行列式是正负1.

如何证明盒子体积就等于行列式?
这里用的是证明体积符合行列的三个基本性质.
其中第一条单位方阵性质,第二条互换两行,行列式绝对值变,以及3a性质都容易证明.

那么我们求平行四边形的面积,就不需要求底×高,而是将两条边顶点坐标构成一个矩阵,但是这个平行四边形需要有一个点在原点,但是也非常方便了,这样平行四边形的面积就成了行列式的值.三角形的面积就成了行列式值得一半.

那么如果顶点不在原点上呢?

这样就可以计算任意一个三角形的面积了.
这里不予证明.

4,特征值与特征向量
特征向量:AX与X是同方向的,也可以说输入X得到的输出AX与X同方向.

如果说一个方阵不可逆,那么0一定是这个方阵的特征值之一.

对于我们熟悉的投影平面,特征向量就是处于投影平面内的任意一个向量.
并且投影矩阵如果是一个奇异矩阵,那么0也必然是它的特征值.对应于与投影空间相垂直的向量.
所以投影矩阵的特征值只能是1或0.并且这里为空间,所以有三个特征值.

对于置换矩阵,

由于这里是两阶所以有两个特征值.并且这里由于是对称矩阵,所以求出来的两个特征向量相互垂直.

这里特征值有一个性质就是:n×n的矩阵有n个特征值.
并且特征值的和等于对角线元素的和.这个数叫做迹.

5,如何求解特征值与特征向量

这里为什么从λ变成了λI,因为λI与x相乘也能起到λx的作用.
另外这个矩阵必然是奇异矩阵,因为如果矩阵可逆,那么x就只有0向量了.0空间中只有0向量.

所以,奇异矩阵行列式为0

并由此解出λ,并由此解出特征向量.

例子

这是二维的情况,注意这里结果中的6就是迹,而8是矩阵行列式,也是特征值的乘积.

这就是求解的完整过程,一般来说每一个特征值都对应着特征向量.

用这个例子与置换矩阵的例子相对比,只是将对角线加上了3I,那么特征值会如何变化,特征向量又会如何变化?
特征值都加上3,特征向量不变.

证明如上.

但是对于两个矩阵来说,由于特征向量是不同的,所以不可以将特征值相加.

注意这个例子,其中Q为90度旋转矩阵,就是前面的sin,cos矩阵中取90度,这个矩阵的作用是将向量旋转90度
所以特征向量是旋转90度任然等于原向量的方向.
这里就出现了复数.

这里结果为一组共轭复数.
这里可以说一下,如果矩阵越接近对称矩阵,那么得到的结果就是实数的.而上面例子中Q的转置是Q的反对称矩阵,与对称矩阵相差较大,所以得到了纯虚数的矩阵.这是一种比较坏的情况.

还有一种更坏的情况

这个矩阵虽然特征值有两个都是3,但是特征向量只有一个.

6,相似对角化

将A的特征向量按列排布,组成S矩阵就可以对A矩阵进行相似对角化,得到特征值矩阵.
所以我们需要n个线性无关的特征向量,不然S的逆不存在

公式推导过程如上.这也就是为什么特征值要与对应的特征向量保持一致才可以相似对角化.

上面提到有些矩阵并没有有n个线性无关的特征向量,也就无法相似对角化.

这里我们得到了另一种矩阵分解方法,不同于A=LU,A=QR

这里我们可以看出A平方的特征值为λ平方,特征向量不变同理可以得到K
次方的情况.

这就提供给我们一种求解矩阵幂的方法.
并且有如下定理.

这些推理都建立在A可相似对角化的情况下.

7,哪些矩阵可以相似对角化.
(1)有n个不同的特征向量,因为特征方程保证了行列式一定为0,就每个特征值至少有一个特征向量.

这里补充一个小知识,单位矩阵的特征值为1,特征向量为n维空间,意思是,n维空间中每一个向量乘以单位矩阵都为本身.方向自然不会改变.
如果是对角矩阵和三角矩阵,那么对角元素就是该矩阵特征值.
(2),有重复的特征值,但是代数重数(相同的特征值数量)=几何重数(对应0空间的维数)

8,回到可相似对角化的情况
求解动态问题

适用于重复操作的情况.

由于x维线性无关的特征向量,所以通过c向量的线性组合可以表示U0,并且U0=Sc
那么A矩阵的100次方乘以U0就可以写成以上形式,AU0=S×对角矩阵×S的逆×S×c所以说,这个公式中的S应该左乘对角矩阵而不是右乘.

这个作用就是:将初始量展开称为特征矩阵S与c的乘积之后,就可以看将一个操作重复100次之后的情况.适用于重复操作的情况

具体例子(斐波那契数列)

对称矩阵特征值相反,并且特征向量相互正交.

这里我们应该先写出从实际问题中抽象出的A矩阵的特征值与特征向量,他的特征值决定了,最终结果是收敛的还是发散的.
在本题中一个特征值大于1,一个特征值小于1,那么对结果起决定性作用的就是大于1的特征值,因为经过无数次操作后,特征值小于1的会趋近于0
第二步,将U0写成特征向量的线性组合.
第三步,带公式就可以得到经过100次操作之后的样子

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