特征值和特征向量的本质概念

复习了一下线性代数，在B站上竟然点出了清华大学李永乐老师的考研冲刺班教程

好吧，就以题代练，重新感受了一下当年线代的熟悉操作。

翻来覆去，就是什么行列式，秩，极大无关组，齐次方程组，特征值和特征向量，对角阵，相似矩阵。。

解方程->矩阵相乘->特征值和特征向量

行列式就是矩阵的列向量在空间的构成的点连成的图形的体积大小。

秩就是有几个正交基和极大无关组类似

核心还是这个特征值和特征向量，

考虑一个问题，既然可逆矩阵可以和一个对角阵相似，特征值就是对角阵的对角线上的值，

也就是说任何一个可逆矩阵，都能映射到某个坐标体系中去（特征值、特征向量是复数，也可能不存在）

这个体系就是特征空间，特征空间会随着矩阵的改变而改变，A*向量V=λ*向量V，在A的作用下，向量只做伸缩不做方向的变动。

参考：https://www.matongxue.com/madocs/228.html

如下图所示，当向量v（绿色）和特征空间的基向量（A的特征向量）重合时，也就是，方向一致，向量v就成了特征向量，

不重合时，可以说是向量AV（紫色）是向量v（绿色）在A的特征空间的映射？：）我不知道这么说对不对，/(-o-)\

如果我们继续用A乘向量Av，那么v将会朝着最大特征值的特征向量的方向移动，直到完全一致。

为什么乘一次无法将v变成A的特征向量方向呢？因为是A不止一个特征向量，

另一个问题，方阵（方阵才有特征值）和向量的乘法，就是对向量的两类运动，一个是伸缩，一个旋转，特征值分解后，特征值就是伸缩，两两相互正交的单位特征向量就是旋转动作。

最大的特征值对应的特征向量指明了矩阵的运动的最大速度和方向，相当于这个矩阵的最大的特征，这个和主成分分析是不是有类似？图像处理中，保留主要特征值，相当于图像压缩。

矩阵乘法就是线性函数，或者线性映射，本质是基改变，导致向量的坐标发生变化，是不是在不同的线性空间里的映射？

最后：特征值和特征向量的应用

说了这么多，可能有模友会问：到底特征值和特征向量有什么用呢？不会仅仅用来考试吧！

其实，特征值和特征向量在我们的生活中都是非常普遍的。

(1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；

(2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；

(3)著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。

(4)在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵，Google的PageRank算法就是一个例子。

有一句话说得好：“只要有振动就有特征值，即振动的自然频率”。如果你曾经弹过吉他，你已经求解了一个特征值问题。。。

转载于:https://www.cnblogs.com/marszhw/p/10169734.html

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