数学建模（3.9）多目标规划

理解

多目标规划跟一般的规划问题有所不同，多目标规划通常是要求学生做出满足各个优先度要求的最佳抉择。衡量出尽量满足所有需求而得出使得目标最优（如收益最大）的方案。

由于多目标规划跟线性规划完全不同，因此在此需要使用全新的解法。

正负偏差

为了将约束条件转换为等式，使得转换变成对偏差量的求解。在此引入d1,d1_，分别代表正负偏差变量。

d1=max{ fn-dn , 0 }表示决策值超过目标值的部分
d1_=-min{ f-dn , 0 }表示决策值未达到目标值的部分

前面的分段函数，是为了保证正负偏差变量不会出现负数情况

显然决策值只会要么多余目标值要么少于目标值，即b1,b1_中必定有一个为0

刚性约束和柔性约束

顾名思义，一定要满足的约束条件为刚性约束，尽量满足的约束条件为柔性约束条件。
其中刚性约束条件也可以不使用正负偏差变量代替。

优先等级

在随后的求解过程中，会出现达成目标的轻重缓急。在前的达成优先度会高于后者。

目标函数

（1）

要求尽可能接近（恰好达到目标值）
即要求正负偏差变量都尽可能的小

表示为使负偏差变量与系数乘积+正偏差变量与系数乘积最小

（2）

要求不能超过目标值（例如不能超过预算），即允许达不到目标值，使得正偏差变量尽可能的小

表示为正偏差变量与系数乘积最小

（3）

要求能超过目标值，即超过量不限，但是负偏差尽可能要小

表示为负偏差变量与系数乘积最小

实例

某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，要求相关部门遵守以下的规定：

（1）年工资总额不超过1500000元；

（2）每级的人数不超过定编规定的人数；

（3）II、III级的升级面尽可能达到现有人数的20%；

（4）III级不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10%的人要退休. 相关资料汇总于表2-1中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案.

求解思路

为了考虑选取最优的调资方案，需要考虑三个约束条件，显然前两个约束条件为刚性约束，而第三个约束条件为柔性约束。

分别建立目标约束

设由II晋升为I的人数为x1，由III晋升为II的人数为x2，招聘为III的人数为x3，dn_为未满误差，dn为过盈误差,n=1.2.3.4.5

年工资总额不超标
（1）
为保证调资后的年工资预算仍在指标范围内，有约束条件

（2）
每一级的人数不超过定编规定的人数

（3）
II，III的升级面尽量达到现有人数的20%

最终得到目标规划的数学模型

通过lingo软件求解得第一级偏差和第二级偏差都为0，代入求得第三极偏差为-1

代入原模型解得
X1=2
X2=4
X3=6

lingo求解程序请见传送门：
https://blog.csdn.net/qq_43649786/article/details/98359558