二阶常系数微分方程的通解

(一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成：

      其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解

(二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

形如：y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}y′′+py′+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程。

（Pm(x)表示最高次数为m的多项式。）（ P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。）（Pm(x)表示最高次数为m的多项式。）

构造：y∗=Q(X)eαx构造：y*=Q_{(X)}e^{\alpha x}构造：y∗=Q(X)eαx

⇒y∗′=Q(X)′eαx+αQ(X)eαx\Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x}⇒y∗′=Q(X)′eαx+αQ(X)eαx,

y∗′′=Q(X)′′eαx+2αQ(X)′eαx+α2Q(X)eαxy*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x}y∗′′=Q(X)′′eαx+2αQ(X)′eαx+α2Q(X)eαx

将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx:

⇒eαx[Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x}⇒eαx[Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx

即，[Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}[Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)

讨论：讨论：讨论：
(1) α不是特征方程r2+pr+q=0的解\alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解α不是特征方程r2+pr+q=0的解
由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)=0可构造由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)=0可构造:

Q(X)=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0Q(X)=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0

（2)α是特征方程r2+pr+q=0的单根\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根α是特征方程r2+pr+q=0的单根
由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′=0可构造由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′=0可构造:

Q(X)′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0Q(X)′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0

（3)α是特征方程r2+pr+q=0的重根\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根α是特征方程r2+pr+q=0的重根
由Q(X)′′=0可构造由Q_{(X)}''=0 可构造由Q(X)′′=0可构造:

Q(X)′′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0Q(X)′′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0

最后，根据多项式相等，则其对应系数相等可求解最后，根据多项式相等，则其对应系数相等可求解最后，根据多项式相等，则其对应系数相等可求解

解题步骤：

1.）求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
2.）遇到形式为 y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}y′′+py′+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程，构造y∗=Q(X)eαxy*=Q_{(X)}e^{\alpha x}y∗=Q(X)eαx
3.）将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx并化简将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx并化简
4.）判断 α\alphaα 是否为特征方程的根？单根？重根？
5. ）根据 α\alphaα 确定所构造的多项式次数并求解。

形如：y′′+py′+qy=[Pm(x)cosy''+py'+qy =[P_{m(x)}cosy′′+py′+qy=[Pm(x)cosβ\betaβx+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinx+Pn(x)sinβ\betaβx]eαxx]e^{\alpha x}x]eαx 的二阶常系数微分方程。

【欧拉公式: eβxie^{\beta xi}eβxi=cosβ+isinβ\beta+isin\betaβ+isinβxxx 】

eβxie^{\beta xi}eβxi=cosβx+isinβ\beta x+isin\betaβx+isinβxxx
e−βxie^{-\beta xi}e−βxi=cosβx−isinβx\beta x-isin\beta xβx−isinβx

⇒\Rightarrow⇒ cosβ\betaβ x= eβxi+e−βxi2\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}2eβxi+e−βxi
sin β\betaβ x= eβxi−e−βxi2i\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}2ieβxi−e−βxi

∴\therefore∴ [Pm(x)cos[P_{m(x)}cos[Pm(x)cosβ\betaβx+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinx+Pn(x)sinβ\betaβx]eαxx]e^{\alpha x}x]eαx

=[Pm(x)2+Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}][2Pm(x)+2iPn(x)] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}e(α+βi)x+[Pm(x)2−Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}][2Pm(x)−2iPn(x)] e(α−βi)xe^{(\alpha -\beta i) x}e(α−βi)x

=[Pm(x)2−Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}][2Pm(x)−2Pn(x)i] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}e(α+βi)x+[Pm(x)2−Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}][2Pm(x)−2Pn(x)i] e(α−βi)xe^{(\alpha -\beta i) x}e(α−βi)x

= Ps(x)e(α+βi)xP_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x}Ps(x)e(α+βi)x + Ps(x)‾\overline{P_{s(x)} }Ps(x)e(α−βi)xe^{(\alpha -\beta i) x}e(α−βi)x (其中s=maxm,n)(其中s=max{m,n})(其中s=maxm,n)

【 Ps(x),Ps(x)‾P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} }Ps(x),Ps(x) 为共轭复多项式。】