用严密的数学语言证明：周长相同时，圆面积最大

[color=red]前言 [/color]
等周问题历史相当久远。
相传迪多（Dido）女皇曾在购买土著人的土地时考虑过它（因此导致迦太基城的建立）。
古希腊数学家芝诺多罗斯（Zenodorus）在公元前2世纪就研究过这个问题，其成果在5世纪之后由帕普斯(Pappus)详述并加以推广。18世纪，拉格朗日（Lagrange）创立了变分法，这对等周问题的解决提供了有效的工具，尤其适用于该问题的一般提法。利用初等几何解决该问题是19世纪几何学家雅谷比·斯坦纳(Jacob Steiner)完成的。

[color=red]接触问题[/color]
昨天晚上在问问看到一个这样的问题，想想还比较困难，随便到网上搜了下，居然没有完全的证明。大部分的“证明”是用物理或者叙述的方法说明的，都不能算作证明。然后晚上想了几个小时，觉得应该使用微积分的方法。在第二天，告诉几个同学这个题，第一反应居然是“简单”或者“幼稚”的问题，但是给他们整整几个小时的时间却无法解答……下面就来看这个PUZZLE。

PUZZLE V:证明在各种相同周长的平面图形中，圆面积最大。

[color=red]前提：[/color]
1.平面是一个只描述而不定义的最基本概念，是由现实生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，并不涉及空间扭曲。
2.圆的定义可以从以下几个方面定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆；函数x^2+y^2=R^2（R不为0）定义出的几何图形可以称为圆。

[color=red]提醒：[/color]1.穷举法是不可行的。
2.如果涉及极限，务必使用准确的数学语言表达。
3.平面图形不仅仅包括多边形，还包括其他包含曲线的封闭图形。
4.利用物理上的说明（势能，张力等）不可行，否则你需要证明某个物体是圆形的。

最简单的物理说明：
相同的周长，即可理解为一根首尾相接的绳子，将此绳子任意形状水平铺在一水平面上（认为绳子是有高度的，并且没有质量的），向绳子内注水，绳子在水的压力下，最后变成圆形，因为此情况可认为是由中心一点，向各个方向力均相等，根据初中知识，水会稳定在势能最低的地方，即高度最低，由此得证，圆形是相同周长下面积最大的形状。

但物理说明不能代替数学证明，完全不能。

貌似逻辑严密的数学“说明”：
给定一个周长l，让我们假设存在（至少）一个图形，它的周长是l，而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。

首先，它必须是凸的，也就是说，在它内部（包括边界）任取两点，然后通过这两点作一条直线，那么这整条直线都在这个图形的内部。因为如果这条直线有一部分露在外面，我们把这条直线新割过来的面积加上旧有的面积，算作一个新图形，它的面积比原来的大，而周长反而小了（两点之间，直线最短）。

然后在曲线上任取一点，则必然有对应的唯一一点，使得这两点把曲线分成等长的两段，现在通过这两点作一直线，这条直线把图形分成两块（因为它是凸的，所以不会分成更多块）。这两块的面积一定是相同的，如果不是，把面积比较大的那块以直线为对称轴反射到另一边，我们就会有一个比原来更大的图形，这就矛盾了。这是我上次讲的。

现在我们就换到另一个问题：现在有长为l/2的曲线，怎样才能在一条直线旁边围出一个面积尽量大的图形（直线算作一边）？我们要证明这是个半圆，然后和上面的推理结合起来就证明了我们的定理。假设曲线的端点是a，b，它们都在直线上。要证明这是个半圆，只要证明对曲线上的任一点c，ac和bc成直角（为什么？这是中学几何，如果你忘了，想想ab的中点o，以及oa，ob，oc的长度）。

在纸上画个图比较容易理解我下面要讲的。线段ac和bc把图形分成了三块，两块象月亮，一块是个三角形。想象一下象月亮的两块是由c点为关节的一对钳子，可以开合，a点固定而b点可以随着钳子的开合在直线ab上移动，那么象月亮的两块的面积是不会变的，只有当中的三角形面积才会变。什么时候三角形面积最大？当然是ac和bc成直角的时候。

但这依然不能作为证明。

历史上曾经有证明等周的圆形大于多边形的
定理周长为定值的n边形中以正n变形的面积为最大.(Zenodorus，公元前2世纪，希腊)

证明设A1A2A3...Ai...An为不等n边形，其周长设为l，取其平均值l/n=a，则边长A1A2,A2A3,...,An-1An中必有，不妨设，两邻边A1A2>a>A2A3。
我们以A1B=a,A1A2+A2A3-a,A1A3为边作△A1BA3，则
S(A1BA3)>S(A1A2A3)
把原来的n边形A1A2A3...Ai...An变形为A1BA3…Ai…An.经过变形后多边形周长没有变，其中一边(A1B)边长成为a=l/n，而面积增加.如果A1BA3...Ai...An仍不等边，这笔有两邻边分别大于或小于a，我们作同样变形，经过第二次变形后，多边形周长仍没有变，有两边边长成为a=l/n，而面积继续增加.这样，原来的n变形经过n次变形后多边形成为相同周长(l)的n等边(a)形，而面积大于原来的不等边n边形.前者就是我们所要找的.

推导从Cramer定理及引理推出：等边(边长a)的n边形中以内接于圆的多变形的面积为最大，命题证毕.

证明 Zenodorus在Archimedes著作《量圆》之后指出：既然圆面积等于以圆周长、半径为两直角边的直角三角形面积，那么与之等周的正n边形边心距一定小于圆的半径，而后者的面积=1/2nanr，其中an是边长，r是边心距，nan是等周，因此得到结论.

最有说服力的说明，但是划线部分仍需证明
如果这个任取得封闭图形有凹的部分则一定能找到与这部分相对应的凸的部分，不改变图形的周长且使图形的面积增大，这样只要证明所有全凸的封闭图形的面积都小于圆的面积即可。

取一条直线把这个任取得封闭图形分成长度相等的两部分，然后再把面积大的一部分对翻到面积小的一部分，这样得到的图形面积增大，周长不变。一直这样做下去就能最终得到一个任取一条等分周长的直线则这条直线等分面积的图形，即圆(12楼及之后各楼都提到这句话是错误的,之后会对这段进行修改.2009.1.18)，从而圆的面积最大。

严密数学证明（？等我复习微积分的时候再来看是否正确吧，先使用白色，选中才能看到）

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