三种数学语言的相互转化
高中数学中的三种常用的数学语言:自然语言,符号语言,图形语言,她们在题目的求解中会不停的转化,如果不了解她们的转化,碰到题目准会抓瞎。
例1:函数的对称性的转化
自然语言
:函数\(f(x)\)的对称轴是\(x=2\)
符号语言
:\(f(x+4)=f(-x)\)或\(f(x+3)=f(1-x)\)或\(f(x+2)=f(2-x)\)
或\(f(4-x)=f(x)\)
自然语言
:函数\(f(x)\)的对称中心是\((2,1)\)
符号语言
:\(f(x+4)+f(-x)=2\)或\(f(x+3)+f(1-x)=2\)
或\(f(x+2)+f(2-x)=2\)或\(f(4-x)+f(x)=2\)
例2:
补充立体几何中线面位置关系 线线、线面、面面平行,垂直
例3:
符号语言
:\(\forall x_1\in A\),\(\exists x_2\in B\),使得方程\(g(x_2)=f(x_1)\)成立,先转化如下,
符号语言
:\(\{y\mid y=f(x),x\in A\}\subseteq \{y\mid y=g(x),x\in B\}\);
自然语言
:即函数\(y=f(x)\)的值域是函数\(y=g(x)\)的值域的子集。
例4:
符号语言
:$ab=0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(a=0\)或\(b=0\);
符号语言
:$ab\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(a\neq 0\)且\(b\neq0\);
符号语言
:$ab\ge 0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0 \end{cases}\);
符号语言
:$ab\leq 0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(\begin{cases}a\ge 0\\b\leq 0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\ge 0 \end{cases}\);
符号语言
:$a^2+b^2=0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(a=0\)且\(b=0\); 自然语言
:\(a、b\)全为零;
符号语言
:$a^2+b^2\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言
:\(a\neq 0\)或\(b\neq 0\); 自然语言
:\(a、b\)不全为零;
例5:
自然语言
:若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点,$\Leftrightarrow $ 符号语言
:方程\(f(x)=-g(x)\)有解;
自然语言
:若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点,$\Leftrightarrow $ 符号语言
:方程\(f(-x)=g(x)\)有解;
自然语言
:若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点\((0,0)\)的对称点,$\Leftrightarrow $ 符号语言
:方程\(f(x)=-g(-x)\)有解;
例6:恒成立、能成立类命题
- 一端为参数,另一端为函数的类型:
①自然语言
:\(A\ge f(x)\)在区间\([a,b]\)上恒成立, $\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(A\ge f(x)_{max}\);
自然语言
:\(A\leq f(x)\)在区间\([a,b]\)上恒成立, $\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(A\leq f(x)_{min}\);
②自然语言
:\(A\ge f(x)\)在区间\([a,b]\)上能成立, $\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(A\ge f(x)_{min}\);
自然语言
:\(A\leq f(x)\)在区间\([a,b]\)上能成立, $\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(A\leq f(x)_{max}\);
- 两端都是函数,双变量类型:
③符号语言
:对\(\forall x_1\in [2,3]\),\(\exists x_2\in [4,5]\),满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{min}\);
④符号语言
:对\(\forall x_1\in [2,3]\),\(\forall x_2\in [4,5]\),满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{max}\);
⑤符号语言
:对\(\exists x_1\in [2,3]\),\(\exists x_2\in [4,5]\),满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(f(x_1)_{max}\ge g(x_2)_{min}\);
⑥符号语言
:对\(\exists x_1\in [2,3]\),\(\forall x_2\in [4,5]\),满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(f(x_1)_{max}\ge g(x_2)_{max}\);
- 两端都是函数,单变量类型:
⑦符号语言
:对\(\forall x\in [2,3]\),都满足\(f(x)\ge g(x)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\([f(x)-g(x)]_{min}\ge 0\);
错误转化:\(f(x)_{min}\ge g(x)_{max}\),反例代表如:\(e^x\ge x+1\);
⑧符号语言
:对\(\forall x\in [2,3]\),都满足\(f(x)\leq g(x)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\([f(x)-g(x)]_{max}\leq 0\);
错误转化:\(f(x)_{max}\leq g(x)_{min}\),反例代表如:\(x+1\leq e^x\);
例7:【数列中的表达式】
①符号语言
:\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q常数)\);$\Leftrightarrow $ 自然语言
:数列\(\{a_n\}\)为等比数列;
②符号语言
:\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=q(q常数)\);$\Leftrightarrow $ 自然语言
:数列\(\{a_n\}\)的奇数项和偶数项分别为等比数列;
③符号语言
:\(a_{n+1}-{a_n}=d(d常数)\);$\Leftrightarrow $ 自然语言
:数列\(\{a_n\}\)为等差数列;
④符号语言
:\(a_{n+2}-{a_n}=d(d常数)\);$\Leftrightarrow $ 自然语言
:数列\(\{a_n\}\)的奇数项和偶数项分别为等差数列;
- 举例如下,数列\(\{a_n\}\)满足条件:
\(a_1=1\),\(a_3=3\),\(a_5=5\),\(\cdots\),则满足\(a_{n+2}-a_n=2\)(\(n\)为奇数);
\(a_2=1\),\(a_4=3\),\(a_6=5\),\(\cdots\),则满足\(a_{n+2}-a_n=2\)(\(n\)为偶数);
则数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+2}-a_n=2(n\in N^*)\),但数列\(\{a_n\}\)不是等差数列。
例8:【二次函数的系数】
①自然语言
:已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0,x\in R)\),有且只有一个零点;$\Leftrightarrow $ 符号语言
:\(\Delta =0\),解得\(a=4\);
②自然语言
:已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0,x\in R)\),\(f(x)\)的值域为\([0,+\infty)\);$\Leftrightarrow $ 符号语言
:则\(\Delta =0\),解得\(a=4\);
例9:【三角函数图像的平移】
①自然语言
:将周期函数的图像平移后,若所得图像与原图像重合。$\Leftrightarrow $ 符号语言
:则平移长度必然等于周期的整数倍,或者平移前后的自变量整体差值为\(k\cdot 2\pi(k\in Z)\);
②自然语言
:将周期函数的图像平移后,若所得图像与原图像对称轴重合。$\Leftrightarrow $ 符号语言
:则平移长度必然等于半周期的整数倍,或者平移前后的自变量整体差值为\(k\cdot π(k\in Z)\);
例10:【线段等分点的向量给出方式】
二等分点(中点):① 符号语言
:\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\),或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\),$\Leftrightarrow $ 自然语言
: 则点\(O\)是\(AB\)的中点;即\(|OA|=|OB|\);
三等分点: 符号语言
:\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\),或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\),$\Leftrightarrow $ 自然语言
: 则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点;即\(|OA|=2|OB|\);
相关变形技巧:\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\),
将其系数做恰当的拆分得到,\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\),
如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\),即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\),
即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上,且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
四等分点: 符号语言
:\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\),或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\),$\Leftrightarrow $ 自然语言
: 则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点;即\(|OA|=3|OB|\);
例11:【一元二次方程根的分布的给出方式】
- 函数\(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t\),则“\(\exists a,b\in (0,1)\),使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题的含义?
文字语言:说明函数\(g(x)\)在区间\((0,1)\)上有两个零点,即函数\(g(x)\)须满足条件:
符号语言:\(\left\{\begin{array}{l}{g(0)>0}\\{g(1)>0}\\{0<-\cfrac{-2(t+1)}{2\times 3}<1}\\{\Delta \ge 0}\end{array}\right.\),解得\(0<t<1\),
图形语言:如下图所示,
- 函数\(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t\),则“\(\exists a\in (0,1)\),\(\exists b\in (1,2)\),使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题的含义?
文字语言:说明函数\(g(x)\)在区间\((0,1)\)和区间\((1,2)\)上各有一个零点,即函数\(g(x)\)须满足条件:
符号语言:\(\left\{\begin{array}{l}{g(0)>0}\\{g(1)<0}\\{g(2)>0}\end{array}\right.\);
图形语言:如下图所示,
例12文字语言:若\(ax-y+1-a=0\)恒成立,
符号语言:转化为\(y=ax+1-a\),将参数放置在斜率和截距两个位置,不利于观察总结;
符号语言:转化为\(a=\cfrac{y-1}{x-1}\),显然后者的转化思路更利用解决问题;
例13文字语言:以双曲线的右焦点为圆心,以r=\(\cfrac{c}{2}\)的圆与双曲线的两条渐近线有公共点;
符号语言:使用联立直线方程和双曲线的方程,使用\(\Delta \ge 0\)的思路,也可以利用圆心到直线的距离小于半径的思路,很明显第二个思路的运算量要小一些。
例14文字语言:要保证两个函数有两个交点,直线\(y=-x-a\)不能再往上走了,
符号语言:\(-0-a\leq 1\),解得\(a\ge -1\);
例15文字语言:存在实数\(b\),使得函数\(g(x)=f(x)+b\)有两个零点,
图形语言:意味着直线\(y=-b\)与分段函数\(f(x)\)的两段都有交点,
转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9133705.html
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