Graham算法解决凸包问题

模板题，题目来自洛谷如下。

圈奶牛【模板】二维凸包

题目简要描述

给定一些点，求凸包的周长。

输入格式

输入数据的第一行是一个整数。表示农夫约翰想要围住的放牧点的数目n。

第 222 到第 (n+1)(n + 1)(n+1) 行，每行两个实数，第 (i+1)(i + 1)(i+1) 行的实数 x_i, y_i 分别代表第 iii 个放牧点的横纵坐标

输出格式

输出输出一行一个四舍五入保留两位小数的实数，代表围栏的长度。

输入输出样例

//输入
4
4 8
4 12
5 9.3
7 8//输出
12.00

Graham算法

该算法的大致思路为：

通过维持一个关于候选点的栈S来解决凸包问题。输入集合Q中的每个点都被压入栈一次，非凸包顶点的点最终被弹出栈。当算法终止时，栈中仅包含凸包顶点，且以逆时针的顺序出现在边界上。而该算法主要由排序和扫描组成。（摘自《算法导论》）

主要过程：

首先是排序过程，易得纵坐标最小的值必定是凸包中的顶点，因此选择一个y值最小（如有相同选x最小）的点，记作P₀。接着其余的点按极角的大小逆时针排序，编号P₁至P_m。

接着是扫描过程，按上述排序过程遍历每个点，进行判断，如若该点更合适，则上一个点出栈，该点入栈，否则直接入栈。

图片说明：

文字描述比较绕，下面给出图片描述。（图源来自《算法导论》）

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 8000005
using namespace std;
int n;
struct dot{double x;double y;
}p[maxn], s[maxn];  // p用以存所有点，s用以存凸包顶点
double cp(dot a1, dot a2, dot b1, dot b2){ // 叉乘，a1，a2，b1，b2为四个点 return (a2.x - a1.x) * (b2.y - b1.y) - (b2.x - b1.x) * (a2.y - a1.y);
}
double dis(dot p1, dot p2){ //求两点间距 return sqrt((p2.x - p1.x) * (p2.x - p1.x) + (p2.y - p1.y) * (p2.y - p1.y));
}
bool cmp(dot p1, dot p2){ // 排序函数，按极角大小排序 double tmp = cp(p[0], p1, p[0], p2);if(tmp > 0) return 1;if(tmp == 0 && dis(p[0], p1) < dis(p[0], p2)) return 1;return 0;
}
int main(){scanf("%d", &n);double tmp;for(int i = 0; i < n; i++){scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);if(i > 0 && (p[i].y < p[0].y || (p[i].y == p[0].y && p[i].x < p[0].x))){ // p[0].y保证最小 tmp = p[i].x, p[i].x = p[0].x, p[0].x = tmp;tmp = p[i].y, p[i].y = p[0].y, p[0].y = tmp;}}sort(p + 1, p + n, cmp); //从第二项开始排s[0] = p[0]; //p[0]一定在凸包中int cnt = 0;for(int i = 1; i < n; i++){// 判断此时栈顶的点是否需要剔除，这步结合上图可理解的更透彻 while(cnt > 0 && cp(s[cnt - 1], s[cnt], s[cnt], p[i]) <= 0) cnt -= 1;cnt += 1;s[cnt] = p[i]; //p[i]入栈 } s[cnt + 1] = p[0]; //需要求周长， 第一个点再入栈double C = 0;for(int i = 0; i <= cnt; i++)C += dis(s[i], s[i + 1]);printf("%.2lf", C);return 0;
}