【POJ 2187】如何修改Graham算法，才能使之顺利解决三点一条直线的问题。

暑期集训中做了 POJ 2187 题，噩梦一场，但是这次仔细把一些 Graham 算法在处理存在三点在一条直线上问题的改进方法找到了。

题目意思很明确：给你平面上的一坨点，求最远两点距离的平方。

思路很容易，很多的解题报告上都有阐述，仅两步：1. 求凸包； 2. 旋转卡壳。

我们都知道，Graham 算法是二维凸包的一种相当好写的算法。但是当有三点一线的情况，此种算法就有可能出现问题。这个坑，在我看来，相当难查。

先贴一段 Graham 算法的代码。

bool cmp(point a, point b)
{return direction(p[0], a, b) < 0;
}void getConvex()
{swap(p[0], p[Basis]);Basis = 0;sort(p + 1, p + n, cmp);Top = 0;p[n] = p[0];convex[0] = p[0];convex[1] = p[1];if (n == 2)return;Top = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){while (Top > 0 && direction(convex[Top - 1], convex[Top], p[i]) >= 0){Top--;}convex[++Top] = p[i];}
}

当此代码遇到有三点一线的情况，会出现什么问题呢？

先看下图，比较和谐的情况。

排序后按极角从小到达给编上号。首先 0,1 入栈然后 2 入栈后由于 0-1-2 方向不是向左，于是将 1 弹出

再看一个不那么尽如人意的例子。我们知道，快速排序对于两个关键字相等的元素，其排序后的先后顺序是不可预知的。很有可能出现以下情况。

注意此时 0 1 入栈，按顺序 0 - 1 - 2 判断显然 0 - 1 - 2 不是左转（用上述 cmp 函数判断为直线）。于是，万恶就此开始。1 被抛弃了。

显然这样凸包就求错了。

两种解决方案：1. 改用 Jarvis 步进法；2. 改进 cmp 函数。

改进 cmp 函数的方法是这样的：极角相同时，认为离基准点近的小，排在前面。

于是一切情况就转为和谐情况。并且此凸包上包含的点一定是最少的。

很多解题报告改变了弹栈的条件。直线情况不弹栈。我认为这样凸包上的点会略多，对后续的操作显得有些累赘了。

极角排序代码如下：

bool cmp(point a, point b)
{if (direction(p[0], a, b) == 0)return SQ(a - p[0]) < SQ(b - p[0]);return direction(p[0], a, b) < 0;
}

SQ 代表向量的模的平方。p[0] 为基准点。

旋转卡壳什么的我就不贴代码了，不缺我这份。希望此日志能对陷在 POJ 2187 的同志们一些帮助……

此题卡我良久……同时感觉收获良多……特拿出来与大家分享。

--penhu, ShadowSword.

2012.8

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