2022牛客寒假算法基础集训营4 B、 G两题

B

这是一道很好的线段树练习题，思路很清晰，查询区间进制最小值所对应的进制显然应该是区间最大值+1，所以使用一个线段树维护区间最大值；那么如何维护区间进制呢？让另外一颗线段树记录数字信息即可
之前没做过区间进制的问题，记录一下

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5 + 100;
const int MOD = 1e9 + 7;
string s;
struct Tree_Max{int l;int r;int MAX;
}tr_max[N << 2];
void Push_UP_Max(int u){tr_max[u].MAX = max(tr_max[u << 1].MAX, tr_max[u << 1 | 1].MAX);
}
void Build_Max_Tree(int u, int l, int r){if(l == r){tr_max[u] = {l, r, s[l] - '0'};}else{tr_max[u] = {l, r};int mid = (r - l >> 1) + l;Build_Max_Tree(u << 1, l, mid);Build_Max_Tree(u << 1 | 1, mid + 1, r);Push_UP_Max(u);}
}
void modify_Max(int u, int x, int y){if(tr_max[u].l == tr_max[u].r){tr_max[u].MAX = y;}else{int mid = (tr_max[u].l + tr_max[u].r >> 1);if(x <= mid){modify_Max(u << 1, x, y);}else{modify_Max(u << 1 | 1, x, y);}Push_UP_Max(u);}
}
int query_max(int u, int l, int r){if(tr_max[u].l >= l && tr_max[u].r <= r){return tr_max[u].MAX;}else{int mid = (tr_max[u].l + tr_max[u].r >> 1);int ans = -1;if(l <= mid){ans = max(ans, query_max(u << 1, l, r));}if(mid < r){ans = max(ans, query_max(u << 1 | 1, l, r));}return ans;}
}
int fastpow(ll base, int power){//注意爆ll，以后快速幂就统一long longll ans = 1;while(power > 0){if(power & 1) ans = ans * base % MOD;base = base * base % MOD;power >>= 1;}return (int)ans;
}
struct Tree_Base{int l;int r;int val;
}tr_Base[N << 2][11];// 2 - 10进制
void Push_Up_Base(int u, int k){int sz = tr_Base[u << 1 | 1][k].r - tr_Base[u << 1 | 1][k].l + 1;//注意这里是右子树tr_Base[u][k].val = (1ll * tr_Base[u << 1][k].val * fastpow(k, sz) % MOD + tr_Base[u << 1 | 1][k].val) % MOD;
}
void Build_Base_Tree(int u, int l, int r, int k){//建立k进制的线段树if(l == r){tr_Base[u][k] = {l, r, s[l] - '0'};}else{tr_Base[u][k] = {l, r};int mid = (r - l >> 1) + l;Build_Base_Tree(u << 1, l, mid, k);Build_Base_Tree(u << 1 | 1, mid + 1, r, k);Push_Up_Base(u, k);}
}
void modify_Base(int u, int x, int y, int k){if(tr_Base[u][k].l == tr_Base[u][k].r){tr_Base[u][k].val = y;}else{int mid = (tr_Base[u][k].l + tr_Base[u][k].r >> 1);if(x <= mid) modify_Base(u << 1, x, y, k);else modify_Base(u << 1 | 1, x, y, k);Push_Up_Base(u, k);}
}
int query_Base(int u, int l, int r, int k){if(tr_Base[u][k].l >= l && tr_Base[u][k].r <= r){return tr_Base[u][k].val;}else{int mid = tr_Base[u][k].l + tr_Base[u][k].r >> 1;ll ans = 0;if(l <= mid){ans += query_Base(u << 1, l, r, k);}ans *= fastpow(k, min(r, tr_Base[u][k].r) - mid);// !!!注意这里范围ans %= MOD;if(mid < r){ans += query_Base(u << 1 | 1, l, r, k);}ans %= MOD;return (int)ans;}
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n, q;cin >> n >> q;s.resize(n + 1);for(int i=1;i<=n;i++) cin >> s[i];Build_Max_Tree(1, 1, n);for(int i=2;i<=10;i++){Build_Base_Tree(1, 1, n, i);}while(q--){int opt, x, y;cin >> opt >> x >> y;if(opt == 1){modify_Max(1, x, y);for(int i=2;i<=10;i++){modify_Base(1, x, y, i);}}else{cout << query_Base(1, x, y, max(2, query_max(1, x, y) + 1)) << '\n';}}return 0;
}

G

定义子序列权值为子序列最小值和最大值的乘积，问一个数组中所有非空子序列的权值乘积是多少，取模

理解题解中所讲的一个长度为kkk的区间，中间的数对答案的贡献是2k−22^{k-2}2k−2，但是此题有更好的办法
考虑枚举每一个数，当然首先把它们从小到大排序，设这个数是第iii个，iii从0开始，那么因为已经排好序了，那么它能够对答案造成多少贡献呢？因为贡献一定是这个数是子序列里面的最大值或者是最小值，如果成立为最小值，那么子序列的其他数一定是在这个数后面的某些数或者没有，它后面一共有2n−i−12^{n-i-1}2n−i−1个数，那么根据一个长度为nnn的数组的子序列个数一共是2n2^{n}2n（包括空序列），所以这个时候这个数对答案的贡献是2n−i−12^{n-i-1}2n−i−1；同理可得当这个数成立为最大值的时候，对答案的贡献是2i2^{i}2i，所以答案应该是∑i=0n−1a[i]2i+2n−i−1\sum_{i=0}^{n-1} a[i]^{2^{i}+2^{n-i-1}}∑i=0n−1a[i]2i+2n−i−1，当然首先要欧拉降幂降指数，因为模数是一个质数，所以欧拉函数值就是MOD−1MOD-1MOD−1
看jiangly代码突然悟到了

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int MOD = 1e9 + 7;
ll fastpow(ll base, ll power, ll MOD){ll ans = 1;while(power){if(power & 1) ans = ans * base % MOD;base = base * base % MOD;power >>= 1;}return ans;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin >> n;vector<ll> POW(n);POW[0] = 1ll;for(int i=1;i<n;i++){POW[i] = POW[i - 1] * 2 % (MOD - 1);}ll ans = 1;vector<int> a(n);for(auto &i : a) cin >> i;sort(a.begin(), a.end());for(int i=0;i<n;i++){ans *= fastpow(a[i], POW[i] + POW[n - i - 1], MOD);ans %= MOD;}cout << ans;return 0;
}

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B

G

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