2.12 二项式系数加法解 C实现

该问题出自《C语言名题精选百则技巧篇》

题目：编写一个程序，只用加法，求出n中取r个的组合系数C(n,r)，并且尽可能的使加法数目降低。

我们先来了解一下二项式系数的性质：

(1) C(m,n) = C(n,n-m)

(2) C(n,r) = C(n-1,r)+C(n-1,r-1)

(3) C(n,0) = 1,C(n,1) = n, C(n,n) = 1

第一种方法：递归函数

int cnr(int n,int r)
{if(n==r || r ==0)return 1;else return cnr(n-1,r)+cnr(n-1,r-1);
}

我们来分析一下，上面这种方法用到的加法的个数。

用A(n,r)表示在计算C(n,r)时所用到的加法的个数，从if部分看，当n=r以及r=0时没有用到加法，因此A(n,n) = A(n,0) = 0；从else的部分看，要先计算C(n-1,r)和C(n-1,r-1), 一共用了A(n-1,r)和A(n-1,r-1)个加法，最后又多了一个加法，因此A(n,r)可以表示为：

A(n,r) = 0 n==r或者r==0

A(n,r) = A(n-1,r)+A(n-1,r-1)+1.

由二项式性质的(2)和(3)很容易想到A(n,r) = C(n,r) -1 = n(n-1)...(n-r+1)/[r(r-1)...*3*2*1]-1.与n^r成正比。

第二种方法：杨辉三角（Pascal）

n=0 1

n=1 1 1
n=2 1 2 2

n=3 1 3 3 1

杨辉三角程序

int cnr(int n,int r)
{int answer[MAXSIZE];int i,j;answer[0] =1;for(i=1;i<=n;i++)for(answer[i]=1,j=i-1;j>=1;j--)answer[j]+=answer[j-1];return answer[r];
}

i = 2时1个加法，i=3时2个加法，i=n时n-1个加法。总共n(n-1)/2个加法。

第三种方法，根据杨辉三角演变出来的

根据杨辉三角演变出来的，但是不按三角形形状顺序进行加法的计算。

C(0,0) C(1,1) C(2,1) C(3,3)

C(1,0) C(2,1) C(3,2) C(4,3)

C(2,0) C(3,1) C(4,2) C(5,3)

C(3,0) C(4,1) C(5,2) C(6,3)

C(4,0) C(5,1) C(6,2) C(7,3)

C(5,0) C(6,1) C(7,2) C(8,3)

先把所有元素都初始化为1，从C(2,1)开始，每一个元素等于它的左边的元素和上边的元素的值相加。所以一共只需要加15次就可以得到结果C(8,3). 可以先计算行也可以先计算列，我们下边按行的顺序相加。

i	j	c[j]	对应
1	1	c[1] = c[1] +c[0] =2	C(2,1)
1	2	c[2] = c[2] +c[1] =3	C(3,2)
1	3	c[3] = c[3] +c[2] = 4	C(4,3)
2	1	c[1] = c[1] +c[0] = 3	C(3,1)
2	2	c[2] = c[2] +c[1] =6	C(4,2)
2	3	c[3] = c[3] +c[2] =10	C(5,3)
3	1	c[1] = c[1] +c[0] = 4	C(4,1)
3	2	c[2] = c[2] + c[1] = 10	C(5,2)
3	3	c[3] = c[3] + c[2] = 20	C(6,3)
4	1	c[1] = c[1] +c[0] = 5	C(5,1)
4	2	c[2] = c[2] + c[1] = 15	C(6,2)
4	3	c[3] = c[3] +c[2] = 35	C(7,3)
5	1	c[1] = c[1] + c[0] = 6	C(6,1)
5	2	c[2] = c[2] + c[1] =21	C(7,2)

5 3 c[3] = c[3] + c[2] = 56 C(8,3)
代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXSIZE 100
unsigned long cnr(int n,int r)
{unsigned long c[MAXSIZE];int i,j;for(i=0;i<=r;i++)c[i] = 1UL;for(i=1;i<=n-r;i++)for(j=1;j<=r;j++)c[j]+=c[j-1];return c[r];
}
int main(int argc,char *argv[])
{int n,r;unsigned long answer;printf("\nCnr  Program:m^n");printf("\nInput n -->");scanf("%d",&n);printf("\nInput r -->");scanf("%d",&r);answer = cnr(n,r);printf("The answer of Cnr is:Cnr = %ld",answer);while(1)getchar();return 0;}

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