第2节二叉树计算欧式和美式期权价格

2.1 简介
2.2 二叉树计算期权价格算法
2.3 计算过程 Python 代码实现
2.4 相关说明
- 2.4.1 计算例子
- 2.4.2 树形定价收敛情况

1.1 简介

考虑期权为股票期权，二叉树是指股票价格在期限内可能的变化路径的图形。

考虑时间段为0至T，对于步数为N的二叉树，在t=0,Δt,...,(N−1)Δtt=0,\; \Delta t, ...,(N-1)\Delta tt=0,Δt,...,(N−1)Δt 的时间节点上股票价格有概率ppp由当前价格StS_tSt变为uStuS_tuSt，有概率(1−p)(1-p)(1−p)变为dStdS_tdSt。其中Δt=TN\Delta t = \frac{T}{N}Δt=NT, u和d分别为上升和下降幅度。当二叉树的步数足够多时，股票价格的最后分布将为对数正态分布。

John Hull的《期权、期货及其他衍生产品》中说明了当我们要求没有无风险套利空间，选取p=erΔt−du−dp=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}p=u−derΔt−d时，期权在当前节点的价格为期权在分叉后价格期望的贴现后价格。此外我们需要选取的uuu和ddd会让股票价格的波动率与几何布朗运动：
dSS=rdt+σdz\frac{dS}{S} = r dt + \sigma dzSdS=rdt+σdz
相符合。即考虑下列等式，

pu+(1−p)d=erΔt,p(u−1)2+(1−p)(d−1)2−[p(u−1)+(1−p)(d−1)]2=σ2Δt.pu+(1-p)d = e^{r\Delta t}, \;\; p(u-1)^2+(1-p)(d-1)^2-[p(u-1)+(1-p)(d-1)]^2 = \sigma^2\Delta t .pu+(1−p)d=erΔt,p(u−1)2+(1−p)(d−1)2−[p(u−1)+(1−p)(d−1)]2=σ2Δt.
让d=1/ud=1/ud=1/u，我们会得到一个重合的树形。这时忽略Δt\Delta tΔt的32\frac{3}{2}23阶小量后会有
u=eσΔt,d=e−σΔt.u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \;\; d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}.u=eσΔt,d=e−σΔt.

下面左图和右图分别为一步和多步二叉树分叉过程，多步二叉树中每一个节点的分叉过程都是相同的。

2.2 二叉树计算期权价格算法

欧式期权价格

根据给定的股票价格的波动率σ\sigmaσ和无风险利率rrr，按照上图中公式计算出u,d，u,\;d，u,d，和ppp，其中Δt\Delta tΔt为每一步步长T/NT/NT/N。
计算出股票价格在树形末端每个节点的价格，如上右图右侧。
根据期权类型（看涨或看跌），以及期权的执行价格KKK计算出期权在树形末端的价格分布。
用期权价格的递推关系计算出前一层节点上期权价格的期望值。期权价格的递推关系为
fi,j=e−rΔt(pfi+1,j+1+(1−p)fi+1,j).f_{i,j} = e^{-r\Delta t}(pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j})\;.fi,j=e−rΔt(pfi+1,j+1+(1−p)fi+1,j).
其中fi,jf_{i, j}fi,j为期权在iΔti\Delta tiΔt时刻，第jjj层（由下往上数，从0开始）的价格。
重复过程4，直到计算出根节点处期权的价格f0,0f_{0,0}f0,0。

美式期权的价格

重复欧式期权价格的计算过程1～3，然后在递推上一层期权价格时考虑可以在该节点执行的情况，具体为：

根据给定的股票价格的波动率σ\sigmaσ和无风险利率rrr，按照上图中公式计算出u,du,\;du,d和ppp。
计算出股票价格在树形末端每个节点的价格。
根据期权类型（看涨或看跌），以及期权的执行价格KKK计算出期权在树形末端的价格分布。
计算出前一层节点上期权价格的期望值。此时需要考虑可以在该节点执行期权，假设期权为看涨期权，则其价格的递推关系为
fi,j=max⁡[Si,j−K,e−rΔt(pfi+1,j+1+(1−p)fi+1,j)].f_{i,j} = \max{\left[S_{i, j}-K,\;e^{-r\Delta t}(pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j})\right]}\;.fi,j=max[Si,j−K,e−rΔt(pfi+1,j+1+(1−p)fi+1,j)].
其中fi,jf_{i, j}fi,j为期权在iΔti\Delta tiΔt时刻，第jjj层的价格,Si,j\;S_{i,j}Si,j为该处的股票价格。
重复过程4，计算出根节点处期权的价格f0,0f_{0,0}f0,0。

2.3 计算过程 Python 代码实现

import numpy as np
import mathE = math.eclass Binomial_tree_sim:def __init__(self, r, sigma, S_0, K, T, steps, option_type="european", call_or_put="call"):""" 用输入参数初始化树。"""self.r = rself.sigma = sigmaself.S_0 = S_0self.K = Kself.T = Tself.steps = stepsself.option_type = option_typeself.call_or_put = call_or_put# 计算出树形分叉参数self.dt = self.T/self.stepsself.u = E**(self.sigma*self.dt**0.5)self.d = 1/self.uself.p = (E**(self.r*self.dt)-self.d)/(self.u-self.d)# 将会得到的结果self.tree = Noneself.option_price = None# 计算出一个树形self.build_tree()def build_tree(self):""" 计算出股票价格在树形上每个节点的价格。"""self.tree = list()for lvl in range(self.steps+1):row = list()for j in range(lvl+1):node = dict()node["stock_price"] = self.S_0*self.u**(j)*self.d**(lvl-j)node["option_price"] = Nonerow.append(node)self.tree.append(row)returndef calculate_option_price(self):""" 计算给定类型期权的价格。"""# 简化参数名称。r, K, steps = self.r, self.K, self.stepsdt, p = self.dt, self.p# 计算出期权在树形末端的价格。for node in self.tree[-1]:# 如果是看涨期权。if self.call_or_put == "call":node["option_price"] = max(node["stock_price"]-K, 0)# 如果是看跌期权。else:node["option_price"] = max(K-node["stock_price"], 0)# 如果是欧式期权。if self.option_type == "european":# 递推出树形根节点期权的价格。for lvl in range(steps-1, -1, -1):for j in range(len(self.tree[lvl])):self.tree[lvl][j]["option_price"] = E**(-r*dt)*(p*self.tree[lvl+1][j+1]["option_price"]+\(1-p)*self.tree[lvl+1][j]["option_price"])# 如果是美式期权，过程同欧式期权，计算节点价格时考虑需不需要在该节点执行。else:for lvl in range(self.steps-1, -1, -1):for j in range(len(self.tree[lvl])):self.tree[lvl][j]["option_price"] = E**(-r*dt)*(p*self.tree[lvl+1][j+1]["option_price"]+\(1-p)*self.tree[lvl+1][j]["option_price"])# 考虑要不要这时执行。if self.call_or_put == "call":self.tree[lvl][j]["option_price"] = max(self.tree[lvl][j]["option_price"], \self.tree[lvl][j]["stock_price"]-K)else:self.tree[lvl][j]["option_price"] = max(self.tree[lvl][j]["option_price"], \K-self.tree[lvl][j]["stock_price"])self.option_price = self.tree[0][0]["option_price"]return

2.4 相关说明

2.4.1 计算例子

考虑一个期限在3年后，执行价格为10的期权。当前股票价格为10，无风险利率为10，股票价格波动率为0.2 。使用10步二叉树，可以如下计算出各种期权价格。

tree_obj = Binomial_tree_sim(0.05, 0.2, 10, 10, 3, 10, option_type="european", call_or_put="call")
tree_obj.calculate_option_price()
print("欧式看涨期权价格为： {:0.4f}".format(tree_obj.option_price))tree_obj = Binomial_tree_sim(0.05, 0.2, 10, 10, 3, 10, option_type="european", call_or_put="put")
tree_obj.calculate_option_price()
print("欧式看跌期权价格为：{:0.4f}".format(tree_obj.option_price))tree_obj = Binomial_tree_sim(0.05, 0.2, 10, 10, 3, 10, option_type="american", call_or_put="call")
tree_obj.calculate_option_price()
print("美式看涨期权价格为：{:0.4f}".format(tree_obj.option_price))tree_obj = Binomial_tree_sim(0.05, 0.2, 10, 10, 3, 10, option_type="american", call_or_put="put")
tree_obj.calculate_option_price()
print("美式看跌期权价格为：{:0.4f}".format(tree_obj.option_price))

输出结果为：

欧式看涨期权价格为： 2.0585
欧式看跌期权价格为：0.6656
美式看涨期权价格为：2.0585
美式看跌期权价格为：0.8563

2.4.2 树形定价收敛情况

依旧考虑上面参数的欧式看涨期权，我们可以用解析公式计算出期权价格应该为2.0924。然后我们可以调整树形定价步数，将得到的期权价格和解析解数值进行比较。

X = np.arange(10, 210, 10)
Y = np.array([])
for steps in X:tree_obj = Binomial_tree_sim(0.05, 0.2, 10, 10, 3, steps, option_type="european", call_or_put="call")tree_obj.calculate_option_price()Y = np.append(Y, [tree_obj.option_price])figure = plt.figure()
ax1 = figure.add_subplot(1, 1, 1)line1, = ax1.plot(X, Y, '-s', color="blue", linewidth=1.5)
line2, = ax1.plot(X, len(X)*[2.0924], '-', color="red", linewidth=1)ax1.set_xlabel("steps")
ax1.set_ylabel("price")
ax1.set_title("option price vs tree depth")
ax1.axis((10, 200, 2.04, 2.1))

得：

参考资料：

《期权、期货及其他衍生产品》，John C. Hull 著，王勇、索吾林译。