第5节树形计算亚式期权价格

5.1 简介
5.2 树形计算亚式期权价格算法
5.3 计算算法Python代码实现（平均价格看涨期权）
5.4 计算例子
5.5 相关说明
- 5.5.1 历史平均股价的极大和极小值
- 5.5.2 期权价格的递推

5.1 简介

亚式期权

亚式期权的价格由股票价格在期权有效期内的平均价格决定。特别地，对亚式平均价格看涨期权，在执行时刻期权价格为max⁡(Save−K,0)\max(S_{ave}-K, 0)max(Save−K,0)。其中KKK为约定的执行价，SaveS_{ave}Save为历史股价平均值。对于亚式平均价格看跌期权，在执行时其价格为max⁡(K−Save,0)\max(K-S_{ave}, 0)max(K−Save,0)。
亚式期权具体分类
- 平均价格期权
  如上文所述，平均价格看涨和看跌期权在执行时刻的价格分别为 max⁡(Save−K,0)\max(S_{ave}-K, 0)max(Save−K,0)和 max⁡(K−Save,0)\max(K-S_{ave}, 0)max(K−Save,0)。
- 平均执行价格期权
  对于平均执行价格期权，其看涨和看跌期权在执行时刻的价格分别为 max⁡(ST−Save,0)\max(S_T-S_{ave}, 0)max(ST−Save,0) 和 max⁡(Save−ST,0)\max(S_{ave}-S_T, 0)max(Save−ST,0)，其中STS_TST为执行时刻TTT时的股票价格。
- 美式/欧式期权
  平均价格期权或者平均执行价格期权，都可以是美式或者欧式。如果期权为美式，则持有者有权在期权有效期内任一时刻选择执行期权。

5.2 树形计算亚式期权价格算法

我们依旧首先建立一个描述股价变化的二叉树。然后确定对于每个节点，到达该节点所有可能路径的股价平均值的极大和极小值，在极大和极小值之间等间距地插入一点数量数值点。然后根据亚式期权具体类型确定叶子层每个节点上历史平均股价极大和极小值之间所有数值点对应的期权价格。再逐层递推回根节点处。递推时每个平均股价对应的期权价格的计算需要用到插值法。这里用固定一定数量的数值点而不是所有可能的历史路径平均股价是因为所有可能的路径平均股价的数量可能非常大。

算法具体为：

根据给定的相关参数计算出二叉树分叉参数p,u,d,p,\, u,\, d,p,u,d,并建立股价变化树形。
u=eσΔt,d=1u,p=erΔt−du−d.u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \;\; d=\frac{1}{u}, \;\; p =\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} .u=eσΔt,d=u1,p=u−derΔt−d.
计算并保存树形上每个节点处历史路径平均股价的极大值Save_maxS_{ave\_max}Save_max和极小值Save_minS_{ave\_min}Save_min，
Save_max=1i+1[S01−uj+11−u+S0ujd1−di−j1−d],Save_min=1i+1[S01−di−j+11−d+S0di−ju1−uj1−u].S_{ave\_max} = \frac{1}{i+1}\left[S_0\frac{1-u^{j+1}}{1-u}+S_0u^jd\frac{1-d^{i-j}}{1-d}\right], \\ S_{ave\_min} = \frac{1}{i+1}\left[S_0\frac{1-d^{i-j+1}}{1-d}+S_0d^{i-j}u\frac{1-u^j}{1-u}\right] .Save_max=i+11[S01−u1−uj+1+S0ujd1−d1−di−j],Save_min=i+11[S01−d1−di−j+1+S0di−ju1−u1−uj].
其中S0S_0S0为初始股价，iii为节点所在层数（根节点为0），jjj为节点在该层的位置(最低股价处对应0）。然后在极大和极小值之间插入固定数量的数值点。
在树形叶子层，根据期权具体类型，计算出所有历史平均股价数值点对应的期权价格并保存下来。
往上一层递推。计算出该层每个节点的每个可能的历史平均股价数值点对应的期权价格。考虑一个具体的平均股价数值点，该点在股价下一步上升或下降后分别对应于下一层一个节点的一个历史平均股价数值，但该价格不一定是在已计算出的数值点中，所以一般需要使用插值法求出数值点对应的期权价格。然后对股价上升或下降后对应数值所对应期权价格进行加权平均并贴现，即为当前层考虑节点的一个平均股价数值点对应的期权价格。
重复过程4，直到计算出根节点处期权的价格。

如果期权为美式，则在过程4中需要考虑在每个节点的每个历史平均股价数值点处应不应该执行期权，其它部分的过程不变。

5.3 计算算法 Python 代码实现（平均价格看涨期权）

import mathE = math.eclass Tree_asian_option:def __init__(self, r, sigma, S_0, K, T, steps, points):""" 初始化实例，points为每个节点处历史平均股票价格数值点的数量。"""self.r = rself.sigma = sigmaself.S_0 = S_0self.K = Kself.T = Tself.steps = stepsself.points = pointsself.dt = self.T/self.stepsself.u = E**(self.sigma*self.dt**0.5)self.d = 1/self.uself.p = (E**(self.r*self.dt)-self.d)/(self.u-self.d)self.call_price = Noneself.tree = list()self.build_tree()def get_max_min_ave(self, i, j):""" 计算(i,j)节点处历史路径平均股票价格的极大和极小值。"""u, d, S_0 = self.u, self.d, self.S_0max_ave = S_0*(1-u**(j+1))/(1-u)+S_0*(u**j)*d*(1-d**(i-j))/(1-d)max_ave /= 1+imin_ave = S_0*(1-d**(i-j+1))/(1-d)+S_0*(d**(i-j))*u*(1-u**j)/(1-u)min_ave /= 1+ireturn (max_ave, min_ave)def interpolation(self, x, ref_list):""" 线性插值，ref_list 为维度为 points x 2 的数组，默认ref_list按ref_list[i][0]的大小由小到大排序。"""left, right = 0, len(ref_list)-1pos = 0# 如果在范围外，则返回边界值。实际上我们考虑的树形上不会出现这种情况。if x > ref_list[right][0]:return ref_list[right][1]if x < ref_list[left][0]:return ref_list[left][1]# 二分法查找出x在{ref_list[i][0]}中的位置。while left < right:pos = int((left+right)/2)if x == ref_list[pos][0]:return ref_list[pos][1]if x > ref_list[pos][0]:left = pos+1else:right = pos-1if x > ref_list[left][0]:pos = left+1else:pos = left# 线性插值。result = (ref_list[pos][1]-ref_list[pos-1][1])/(ref_list[pos][0]-ref_list[pos-1][0])result *= (x-ref_list[pos-1][0])result += ref_list[pos-1][1]return resultdef build_tree(self):S_0, steps, points = self.S_0, self.steps, self.pointsu, d, p = self.u, self.d, self.pself.tree = list()for lvl in range(steps+1):row = list()for j in range(lvl+1):node = dict()node["S"] = S_0*(u**j)*(d**(lvl-j))node["F_S"] = list()max_ave, min_ave = self.get_max_min_ave(lvl, j)for k in range(points):node["F_S"].append([(max_ave-min_ave)/(points-1)*k+min_ave, None])row.append(node)self.tree.append(row)returndef calculate_call_price(self):""" 计算欧式平均价格看涨期权的价格。"""r, S_0, K = self.r, self.S_0, self.Ksteps, points = self.steps, self.pointsdt, u, d, p = self.dt, self.u, self.d, self.pa = E**(-r*dt)# 边界条件。for node in self.tree[-1]:for k in range(points):node["F_S"][k][1] = max(0, node["F_S"][k][0]-K)# 递推回根节点。for lvl in range(steps-1, -1, -1):for j in range(lvl+1):node = self.tree[lvl][j]for k in range(points):new_ave_u = (node["F_S"][k][0]*(lvl+1)+self.tree[lvl+1][j+1]["S"])/(lvl+2)new_ave_d = (node["F_S"][k][0]*(lvl+1)+self.tree[lvl+1][j]["S"])/(lvl+2)option_price_u = self.interpolation(new_ave_u, self.tree[lvl+1][j+1]["F_S"])option_price_d = self.interpolation(new_ave_d, self.tree[lvl+1][j]["F_S"])node["F_S"][k][1] = a*p*option_price_u+a*(1-p)*option_price_dself.call_price = self.tree[0][0]["F_S"][0][1]return

5.4 计算例子

当无风险利率为0.1，股价波动率为0.4，股价初始值为50。考虑一平均价格看涨期权，执行时间为1年后，执行价格为50。我们使用步数为60步的二叉树，每个节点的历史股价平均值由100个等间隔数值代替。计算如下：

print("r = 0, sigma = 0.4, S_0 = 50, K = 50, T = 1, steps = 60, points = 100 .\n")
tree_obj = Tree_asian_option(0.1, 0.4, 50, 50, 1, 60, 100)
tree_obj.calculate_call_price()
print("欧式平均价格看涨期权价格为：{0:.5f}".format(tree_obj.call_price))

r = 0, sigma = 0.4, S_0 = 50, K = 50, T = 1, steps = 60, points = 100 .欧式平均价格看涨期权价格为：5.57973

5.5 相关说明

5.5.1 历史平均股价的极大和极小值

对于第iii层，第jjj个节点(i,j)(i,j)(i,j)，不考虑上升或下降的次序，股价到达该节点一共经历了jjj次上升，(i−j)(i-j)(i−j)次下降。到达该节点的路径的平均股价的极大情况对应于一条股价先上升jjj次后下降(i−j)(i-j)(i−j)次的路径。到达该节点的平均股价的极小情况，对应于一条先下降(i−j)(i-j)(i−j)次后上升jjj次的路径。

Save_max=1i+1[S01−uj+11−u+S0ujd1−di−j1−d],Save_min=1i+1[S01−di−j+11−d+S0di−ju1−uj1−u].S_{ave\_max} = \frac{1}{i+1}\left[S_0\frac{1-u^{j+1}}{1-u}+S_0u^jd\frac{1-d^{i-j}}{1-d}\right], \\ S_{ave\_min} = \frac{1}{i+1}\left[S_0\frac{1-d^{i-j+1}}{1-d}+S_0d^{i-j}u\frac{1-u^j}{1-u}\right] .Save_max=i+11[S01−u1−uj+1+S0ujd1−d1−di−j],Save_min=i+11[S01−d1−di−j+1+S0di−ju1−u1−uj].

5.5.2 期权价格的递推

节点(i,j)(i, j)(i,j)在代码中对应self.tree[i][j],是一个dict()型变量。其中有元素"S"和"F_S"，"S"对应的值为当前节点股价Si,jS_{i,j}Si,j。"F_S"对应一个二维list()变量，存储平均股价数值点和对应期权价格共N=N=N= points 对。"F_S"对应的list相当于以离散的数值点的方式描述了一个历史平均股价到期权价格的函数。

考虑一个平均股价数值点Save(k)=kN−1(Save_max−Save_min)+Save_minS_{ave}(k) = \frac{k}{N-1}(S_{ave\_max}-S_{ave\_min})+S_{ave\_min}Save(k)=N−1k(Save_max−Save_min)+Save_min，我们需要计算其对应期权价格。由于股价由当前节点有ppp的概率上升，(1−p)(1-p)(1−p)的概率下降，如果股价上升，则历史平均股价将变为1i+2(Save(k)×(i+1)+uSi,j)\frac{1}{i+2}(S_{ave}(k)\times(i+1)+uS_{i,j})i+21(Save(k)×(i+1)+uSi,j)，可以使用下一层的节点(i+1,j+1)(i+1,j+1)(i+1,j+1)的"F_S"数组进行插值计算出期权价格。股价若下降，历史平均股价变为1i+2(Save(k)×(i+1)+dSi,j)\frac{1}{i+2}(S_{ave}(k)\times(i+1)+dS_{i,j})i+21(Save(k)×(i+1)+dSi,j)，可以使用下一层的节点(i+1,j)(i+1,j)(i+1,j)的"F_S"数组进行插值计算出期权价格。当前节点的Save(k)S_{ave}(k)Save(k)对应的期权价格即为以上两个期权价格加权平均并贴现后的值。

参考资料：

《期权、期货及其他衍生产品》，John C. Hull 著，王勇、索吾林译。