线性时间选择算法

最近算法课的知识点之一，自己以前没遇见过（是我菜了没错），这次写一篇。

那么什么是线性时间选择呢？？？一句话，在线性时间内完成选择。

一般情况下是这样的，我们想要找出一个数组中的最大值或最小值，那就只需要一次排列，然后输出第一个或最后一个元素就行了，但如果是要找出一个数组中的第k小的元素呢？

在某些特殊情况下，很容易设计出解选择问题的线性时间算法。如：当要选择最大元素或最小元素时，显然可以在O(n)时间完成。（遍历一次）
一般的选择问题，特别是中位数的选择问题似乎比最小（大）元素要难。但实际上，从渐近阶的意义上，它们是一样的。也可以在O(n)时间完成。

之前我记得我更过一篇，里面说到就是先排个序，然后通过下标去得到，因此这个问题的解决效率取决于排序算法的效率。

但是现在不一样了，我们有了更好的办法。

随机划分线性选择

分析

随机划分线性选择。模仿快速排序算法，对数组在left——right范围内进行一次划分（partition方法，我们这里默认采用随机元素为基准），得到基准下标i，不大于基准的在左边，比基准大的在右边。计算出left——i（包含i）中有多少个元素（j），与k进行比较。

如果k<j，说明当前left——right中第k小的在左边序列中，那么从left——i-1继续上述步骤寻找第k小。
如果k=j，说明基准i就是left——right中第k小，返回a[j]。（因为前面的都不大于它，后面的都大于它，不管左边是序列怎么排的，整体第k（j）小就是他）
如果k>j，说明第k小在右边序列，大于基准a[i]，那么从i+1——right继续划分，并将k改为k-j。（整体序列提出了前j个元素，那么第k小在剩下的序列中就是第k-j小了）

一直到left=right的时候就可以返回a[left]了（其实我觉得如果有上述2的情况的话就不需要这个了）

这是课堂上PPT给的思路

这是算法导论的（就是我刚刚说的）

代码

    /** @Title randomizedSelect* @Description 基于随机元素为基准的线性时间选择* @author 滑技工厂* @Date 2020/3/26* @param [a, L, R, k -> L---R中的第k小]* @return int* @throws*/public static int randomizedSelect(int[] a, int L, int R, int k) {if (L == R)return a[L];//获取为基准的随机元素的下标int i = randomizedPartition(a, L, R);//j为划分后左序列到基准（包含基准）的元素个数int j = i - L + 1;if (k < j)//如果k小于j，说明在基准i的左边return randomizedSelect(a, L, i - 1, k);else if (k == j)//return a[i];else//k大于j 说明在i的右边序列return randomizedSelect(a, i + 1, R, k - j);}

利用中位数线性时间选择

分析

算法的思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。

先描述下过程。
将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，最只可能有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中元素排好序，并取出中位数，共n/5个。

递归调用Select来找出这n/5个元素中的中位数。如果n/5是个偶数，就找它两个中位数中较大的一个。以该元素作为划分基准。

这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，同理也比3(n-5)/10个元素小。（下图中箭头指向是从大到小，红+蓝的数量为3(n-5)/10）而当n>=75时，3(n-5)/10>=n/4所以按此基准划分所得的两个子数组的长度都至少缩短1/4。

得到划分基准后，后面就和第一个一样，计算左序列个数，和k进行比较。判断在左序列还是右序列，在递归调用该方法（k在右序列仍要减j），直到k=j为止，返回那个基准。

例题

代码

    /** @Title select* @Description 利用中位数线性时间选择* @author 滑技工厂* @Date 2020/3/27* @param [a, l, r, k]* @return int* @throws*/public static int select(int[] a, int l, int r, int k) {if (r - l < 75) {insertSort(a, l, r);    //用插入排序进行排序return a[l + k - 1];}int group = (r - l + 5) / 5;for (int i = 0; i < group; i++) {int left = l + 5 * i;int right = (l + i * 5 + 4) > r ? r : l + i * 5 + 4;  //如果超出右边界就用右边界赋值int mid = (left + right) / 2;insertSort(a, left, right);swap(a, l + i, mid);     // 将各组中位数与前i个}int pivot = select(a, l, l + group - 1, (group + 1) / 2);  //找出中位数的中位数int p = partition(a, l, r, pivot);    //用中位数的中位数作为基准的位置int j = p - l + 1;       //leftNum用来记录基准位置的前边的元素个数if (k == j)return a[p];else if (k < j)return select(a, l, p - 1, k);else                    //若k在基准位子的后边，则要从基准位置的后边数起，即第（k - leftNum - 1）个return select(a, p + 1, r, k - j - 1);}

详细代码去我的G站

作业又完成了一个 (＾－＾)V