算法设计与分析——递归与分治策略—

顾名思义：这篇文章讲解的就是如果用线性时间算法来作出元素选择问题。
问题描述：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1<=k<=n.要求找出这n个元素中第k小的元素，即如果将这个n个元素依其线性序排列时，排在第k个位置的元素就是要找的元素，当k== 1时，要找的就是最小的元素；当k==n，就是最大的元素；当k=（n+1）/2，称为中位数。

问题分析：
在某些特殊的情况下，我们可以实现线性时间选择，对于找最大最小的元素O(n)内可以实现；当k<=n/logn,通过堆排序算法可以在O(n+klogn)=O(n)内实现；当k>=n-n/logn时也一样。
下面是给出的一般的选择问题，从渐近阶的意义上看，这个也可以在O(n)时间内完成。
下面的算法实现参考了《计算机算法与分析》和一些博客，是对其的一个整理。

方法一：
算法描述：用一个随机的序列中的数作为枢纽，用快速排序算法，进行一次快排，然后将枢纽值和k值进行比较，以此来确定k值，我并没有做任何的对比所以并不是清楚这种算法的效率有多少，但是搜到的结果表明，这种算法的最坏时间复杂度是O(n^2),相对与另一种是不太理想的。

解法：

1.首先大家都会想到的解法是排序，之后找出第k个元素，但是排序的时间复杂度不符合要求，或者需要额外的空间。

2.利用快排的思想，以枢纽（随机得到）为界，将数组分为2部分，一部分小于等于这个枢纽值，一部分大于这个枢纽值，与快排不同的是，我们只处理一部分，另一部分舍弃。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int partition(vector<int> &vec,int left,int right)
{int i=left;int j=right;int temp=vec[left];while(i<j){while(vec[j]>=temp&&i<j)//处理i,j的先后顺序不能改变 {j--;}while(vec[i]<=temp&&i<j){i++;}swap(vec[i],vec[j]);}vec[left]=vec[j];vec[j]=temp;return j;
}
int  QuickSort(vector<int> &vec,int left,int right,int k)
{if(left==right)return vec[left];int mid=partition(vec,left,right);int j=mid-left+1;if(k<=j)return QuickSort(vec,left,mid,k);elsereturn QuickSort(vec,mid+1,right,k-j);}
void print(int x)
{cout<<x<<" ";
}int main()
{vector<int> vec={1,2,3,6,5,4,7,8,9};for_each(vec.begin(),vec.end(),print);cout<<endl;int k;cout<<"请输入K（要求找出这n个元素中第k小的元素）：" ;cin>>k;int count=vec.size()-1;cout<<QuickSort(vec,0,count,k)<<endl;QuickSort(vec,0,count,k);for(auto a:vec){cout<<a<<" ";}cout<<endl;}

方法二：

这里我们就利用中位数来进行线性时间的选择算法！

中位数就是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据就是中位数。

算法思路
（1）将输入的n个数划分成 ⌈n5⌉⌈n5⌉ 个组，当然最后一组的数目可能是小于5的！
（2）用任意的排序方法对他们进行排序，并取出一共 ⌈n5⌉⌈n5⌉ 个中位数。
（3）找出该 ⌈n5⌉⌈n5⌉ 个中位数中的中位数。（如果 ⌈n5⌉⌈n5⌉ 是偶数则取相对大的那个数）
（4）将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。

我们用小圆点表示元素，得到如下图：

说明：
图中中间白色圈表示各组数据的中位数，最中间灰色表示中位数的中位数！箭头是从较小的数指向较大的数！

故我们可以使用该数作为划分的基准（比上一个随机基准的方法会好很多）！

图中

当n≥75时，3A1大于等于 14n14n。所以按此基准划分所得的左右2个子数组的长度都至少缩短 1414。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int partition(vector<int> &vec,int left,int right,int k)
{int i=left;int j=right;int temp=vec[k];while(i<j){while(vec[j]>=temp&&i<j)//处理i,j的先后顺序不能改变 {j--;}while(vec[i]<=temp&&i<j){i++;}swap(vec[i],vec[j]);}vec[k]=vec[j];vec[j]=temp;return j;
}void print(int x)
{cout<<x<<" ";
}int  Select(vector<int> &vec,int left,int right,int k)
{if(right-left<75){return vec[left+k-1];}for(int i=0;i<=(right-left-4)/5;i++){}int x=Select(vec,left,left+(right-left-4)/5,(right-left-4)/10);int i=partition(vec,left,right,x);int j=i-left+1;if(k<=j)return Select(vec,left,i,k);elsereturn Select(vec,i+1,right,k-j);}int main()
{vector<int> vec={1,2,3,6,5,4,7,8,9};for_each(vec.begin(),vec.end(),print);cout<<endl;int k;cout<<"请输入K（要求找出这n个元素中第k小的元素）：" ;cin>>k;int count=vec.size()-1;cout<<Select(vec,0,count,k)<<endl;Select(vec,0,count,k);for(auto a:vec){cout<<a<<" ";}cout<<endl;}

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