混合线性模型笔记1：模型假定

前言

之前的GS专栏中，我们介绍了基因组选择中的理论，实践代码，数据过滤，模型介绍等。在基因组选择中，BLUP的方法应用范围最广，BLUP是混合线性模型中随机因子的效应值，因此想要了解基因组选择，混合线性模型是基础。

因此下面几篇博文中我们将系统介绍混合线性模型的基本知识，包括模型定义，公式推导，似然函数书写，方差组分估算等内容。并通过使用编程语言（R，Python，Julia）实现相关操作。

理论学习和编程语言一起学习，不亦乐乎？

1. 混合模型假定

y=Xb+Zu+ey = Xb + Zu +ey=Xb+Zu+e

解释

y为观测值向量
b为固定因子效应值向量（BLUE）
X为固定因子关系矩阵
u为随机因子效应值向量（BLUP）
Z为随机因子关系矩阵
e为残差向量

假定

E(u) = 0 # 即BLUP值的平均值为0
Var(u) = G # 即BLUP值的方差为G
E(e）= 0 # 残差平均值为0
Var(e) = R # 残差方差为R
Cov（u，e）= 0 # 残差和BLUP相互独立，协方差为0

可以写为：
[ue]∼N([00],[G(σg)00R(σγ)])\begin{bmatrix} u\\e \end{bmatrix} \sim N (\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} G(\sigma_g) &0\\ 0 &R(\sigma_{\gamma})\end{bmatrix})[ue]∼N([00],[G(σg)00R(σγ)])

上面的意思是u和e的平均值为0，方差为G和R，协方差为0

推断
E(y)=E(Xb+Zu+e)=E(Xb)+0+0=E(Xb)=XbE(y) = E(Xb + Zu + e) = E(Xb) + 0 + 0 = E(Xb) = Xb E(y)=E(Xb+Zu+e)=E(Xb)+0+0=E(Xb)=Xb

Var(y)=Var(Xb+Zu+e)=Var(Zu)+Var(e)=ZVar(u)Z′+R=ZGZ′+RVar(y) = Var(Xb + Zu + e) = Var(Zu) + Var(e) = ZVar(u)Z' + R = ZGZ' + R Var(y)=Var(Xb+Zu+e)=Var(Zu)+Var(e)=ZVar(u)Z′+R=ZGZ′+R

2. 固定，随机和混合模型

2.1 固定模型

所有效应都是固定效应，对应的就是没有随机效应，称为固定模型

y=Xb+ey = Xb + e y=Xb+e

E(y)=XbE(y) = XbE(y)=Xb
Var(y)=Var(Xb+e)=Var(e)=RVar(y) = Var(Xb + e ) = Var(e) = RVar(y)=Var(Xb+e)=Var(e)=R

2.2 随机模型

所有效应都是随机效应，对应的就是没有固定效应，称为随机模型

y=1μ+Zu+ey = 1\mu + Zu +e y=1μ+Zu+e

E(y)=1μE(y) = 1\muE(y)=1μ
Var(u)=GVar(u) = G Var(u)=G
Var(e)=RVar(e) = R Var(e)=R
Var(y)=ZGZ′+RVar(y) = ZGZ' + R Var(y)=ZGZ′+R

2.3 混合模型

既有固定因子，又有随机因子，称为混合模型

y=Xb+Zu+ey = Xb + Zu + e y=Xb+Zu+e

E(y)=XbE(y) = XbE(y)=Xb
Var(u)=GVar(u) = GVar(u)=G
Var(e)=RVar(e) = RVar(e)=R
Var(y)=ZGZ′+RVar(y) = ZGZ' + R Var(y)=ZGZ′+R

3. 向量计算方差公式推导

如果a是向量，y = ax, 如果var(x) = V, 那么var(y) = var(ax) = aVar(x)a’ = aVa’, 下面是具体描述

假定：
y=a′xy = a'xy=a′x
Y=AXY = AXY=AX
X是随机向量，并且Var(X)=VVar(X) = VVar(X)=V，那么：
Var(y)=a′Var(x)a=a′VaVar(y) = a'Var(x)a = a'VaVar(y)=a′Var(x)a=a′Va
Var(Y)=AVar(x)A′=AVA′Var(Y) = AVar(x)A' = AVA'Var(Y)=AVar(x)A′=AVA′

4. 混合线性模型为何适合分析动植物育种数据

模型假定优势：一般线性模型 VS 混合线性模型：

一般线性模型要求数据是独立的，混合线性模型不要求，可以定义随机因子的关系矩阵A, G, H来分析相关数据
一般线性模型要求数据是齐次的，混合线性模型不要求，可以定义不同水平独立残差分布，或者残差关系矩阵

动植物育种数据特点：

个体间有亲缘关系，无论是IBD，还是IBS，可以通过A矩阵，G矩阵，H矩阵定义
不同地点，不同场，不同年，方差分布通常不是齐次的
数据经常有缺失或者数据不平衡

这些特点，使用混合线性模型非常适合分析动植物育种数据。依据混合线性模型的BLUP值进行排名，是最好的，无偏的，最佳预测的值。

5. 参考文献

张勤. 动物遗传育种中的计算方法[M]. 科学出版社, 2007.
吴密霞. 线性混合效应模型引论[M]. 科学出版社, 2013.