Lyapunov稳定性分析3（离散时间系统）

一、李雅普诺夫稳定性判定
- 1.1 *Lyapunov*两类稳定性方法分析：
- 1.2 总结：
二、举例
- 2.1 MATLAB函数形式：
- 2.2 MATLAB函数实例：
三、离散Lyapunov方程的解

注：Lyapunov稳定性理论主要内容：李雅普诺夫第一方法和第二方法，本篇文章继续上一篇分析线性离散时间系统稳定性，非线性系统稳定性将单独写文章进行分析！敬请关注，谢谢~

一、李雅普诺夫稳定性判定

1.1 Lyapunov两类稳定性方法分析：

（1）Lyapunov渐近稳定的充要条件（第一方法）：A的特征值模均小于1；
（2）Lyapunov渐近稳定的充要条件（第二方法）：对于任意的正定矩阵Q，存在**正定矩阵P**满足Lyapunov方程：

证明：
和连续时间系统一样，取Lyapunov函数为：

则有

与连续时间系统一样，令：

即为Lyapunov方程，则：

只要Q正定，Lyapunov函数变化率为负数，能量随着时间增加肯定逐渐减小至收敛。和连续时间系统一样，一般也是先确定Q，然后求解Lyapunov方程，最后找到正定的P，Q一般取单位阵。

1.2 总结：

二、举例

2.1 MATLAB函数形式：

注意：
同连续时间系统Lyapunov稳定性一样，这里只求解开环系统稳定性，只分析系统矩阵A，还没有涉及到闭环系统反馈矩阵K以及闭环状态状态矩阵A_cl=(A-BK)

2.2 MATLAB函数实例：

eg1. 确定二阶系统在原点处的稳定性

在Lyapunov方程中，取Q =I，得

>> P=[52/27 40/27;40/27 100/27]P =1.9259    1.48151.4815    3.7037

用MATLAB函数dlyap()

>> A=[0 0.5;-0.5 1];Q=eye(2,2)Q =1     00     1>> P=dlyap(A',Q)P =1.9259   -1.4815-1.4815    3.7037

从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。

eg2. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件

eg3. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件

>> eig(A)
ans =11

A的特征值模均等于1；所以该系统不稳定，Lyapunov方程无解。

>> A=[0.99 0;0 0.99];Q=eye(2,2);dlyap(A',Q)ans =50.2513         00   50.2513>> eig(A)
ans =0.99000.9900

A的特征值模均等于1；所以该系统稳定，Lyapunov方程有解。

三、离散Lyapunov方程的解

形式

区别：与第一、二章的区别在于在Q的基础上加了K^TRK

>> AA =1.1000    2.00000    0.9500>> BB =00.0790>> QQ =1     00     1>> RR =0.1000

先用离散dlqr()函数求解最优反馈增益矩阵K

[K,P,r] = dlqr(A,B,Q,R)
K =2.4950   12.5106P =4.0373    8.52268.5226   31.5400r =0.5308 + 0.2651i0.5308 - 0.2651i

① 根据lyapunov方程可知闭环系统矩阵Q2=Q+K^TRK
② 再求解闭环系统矩阵Acl

>> Acl=A-B*K
Acl =1.1000    2.0000-0.1971   -0.0383>> eig(Acl)
ans =0.5308 + 0.2651i0.5308 - 0.2651i

闭环系统矩阵特征值在单位圆内，所以系统稳定
再来求解Lyapunov方程P

>> P=dlyap(Acl',Q2)
P =4.0373    8.52268.5226   31.5400

再求解反馈矩阵Kmpc

Q_ =1.0000         0         0         0         0         0         0         00    1.0000         0         0         0         0         0         00         0    1.0000         0         0         0         0         00         0         0    1.0000         0         0         0         00         0         0         0    1.0000         0         0         00         0         0         0         0    1.0000         0         00         0         0         0         0         0    4.0373    8.52260         0         0         0         0         0    8.5226   31.5400>> K_=(Fai'*Q_*Fai+R_)^(-1)*Fai'*Q_*FK_ =2.4950   12.51060.2785    4.5107-0.5822    0.3856-0.7165   -1.1786

发现第一个k跟dlqr()求出的结果相同