二分图完全匹配算法之匈牙利算法

最近在参加了一个小项目，里面用到二分图匹配算法，因为之前并没有接触过相关算法，于是找到一些博客进行了一番学习，但学习之后，发现部分博客或多或少存在一些另我疑惑的地方，于是，我打算写此博客以巩固对算法的理解。

一、二分图基本概念

二分图（Bipartite graph）又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

通俗一点，二分图是一类特殊的图，它可以被划分为两个部分，每个部分内的点互不相连。

如下图所示，可以将【2】【4】结点视为一个集合，【1】【3】【5】【6】结点视为一个集合，集合内部的结点互不相连，因此该图为一个二分图。

重要定理：G为二分图的充要条件是G中的每一个圈的长度都是偶数。

二、二分图匹配相关概念

1、什么是匹配？

注意，本文只讨论二分图的最大匹配，不讨论最优匹配。

给定一个二分图G=(V,E)，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配；具有边数量最多的匹配称为最大匹配；若|V|=2|M|，则称M为完美匹配。

如下所示为一个二分图的完美匹配：

二分图完美匹配一定是最大匹配，最大匹配不一定是完美匹配。

2、什么是交替路与增广路？

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路（Augmenting Path）：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发点不算），则这条【交替路】称为增广路。

增广路的三个性质：

M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

增广路P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，不匹配的边比匹配的边多一。

不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M’，直到找不到更多的增广路。

增广路的这三个性质可以用来寻找匹配，在接下来会说明。

如下图所示：

路径2->A->1->B为一条交替路，因为出发点2和途径点B均为未匹配点，因此该路径也为增广路。

三、匈牙利算法

1、基本概念

匈牙利算法的核心就是寻找增广路。具体而言，匈牙利算法从二分图中没有匹配的点开始寻找增广路径（增广路径性质3）。找到增广路后，根据增广路径的性质，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条（增广路径性质2），于是对增广路径中的边进行取反操作，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到增广路径为止，无法找到增广路径说明已达到最大匹配（增广路径性质1）。

取反操作：将增广路的匹配边变成不匹配边，不匹配边变成匹配边。

如上图所示：

首先从未匹配点1开始寻找增广路，找到了另一个未匹配点A说明找到了增广路，停止寻找，进行取反操作，将非匹配边变为匹配边，于是1-A为匹配边。
从未匹配点2开始寻找增广路，显然2->A->1->B为增广路，进行取反，于是此时匹配边为2-A、1-B。
从未匹配点3开始寻找增广路，显然3->A->2->C为增广路，进行取反，于是匹配边变为3-A、2-C、1-B。因为已经不存在未匹配点，此时已经找不到更多增广路径，因此达到了此二分图的最大匹配。

注：显然，二分图匹配结果并不唯一。

以上就是匈牙利算法的过程，很明显，搜寻增广路径这个步骤是基于深度优先搜索的。

匈牙利算法寻找增广路的伪代码描述：

//以下为寻找增广路并进行取反操作的伪代码，取反操作通过递归调用完成。
while(找到Xi的关联顶点Yj){if(顶点Yj不在增广路径上){将Yj加入增广路;//如果Yj是未匹配点说明成功找到增广路，从“Yj处继续寻找能够找到增广路”属于递归调用本函数过程，进行取反操作if(Yj是未匹配点||从Yj处继续寻找能够找到增广路){ 将Yj的匹配点改为Xi;return true;}}return false;
}

2、匈牙利算法的实现

网上搜索匈牙利算法，从思想上看都是基于dfs的，另外，我注意到也有一些博客提出了基于广度优先（bfs）的匈牙利算法，我不确定所谓“基于bfs的匈牙利算法”能否称为匈牙利算法，我个人的理解是匈牙利算法就是基于dfs的来寻找增广路径而实现的。

2.1、实际问题

问题描述

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，Grass只愿意和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？

输入：

输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0<K<=1000

1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。

输出：对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。

样例输入：6 3 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 0

样例输出：3

这道题本质上就是求二分图的最大匹配问题。

2.2、代码实现

Java实现：

此代码转载自https://wmathor.com/index.php/archives/1344/，//***//表示是我添加的注释。

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main {static int[][] map;static int n, m;public static void main(String[] args) {Scanner cin = new Scanner(System.in);while (cin.hasNext()) {int t = cin.nextInt();if (t == 0)break;n = cin.nextInt();m = cin.nextInt();map = new int[n + 1][m + 1];for (int i = 0; i < t; i++)map[cin.nextInt()][cin.nextInt()] = 1; // 有向边int count = 0; // 最大匹配数int[] mc = new int[m + 1]; // mc[i] = j 表示i号男生所连的女生是j号Arrays.fill(mc, -1); // 初始时所有女生都没有连//***//以下for循环是核心部分，表示依次从未匹配点开始寻找增广路径for (int i = 1; i <= n; i++) {//***//将增广路径中的结点记录下来，以免重复，因此每一次循环都必须重置。boolean[] vis = new boolean[m + 1]; // vis[i] = true 表示i号男生已经被匹配了//***//根据增广路径性质2、3，每找到一条增广路径就说明找到了一条匹配边if (dfs(i, vis, mc))count++;}System.out.println(count);}}//***//注：这个是寻找增广路径的代码，可以结合之前的伪代码，每找到一条增广路径就说明找到了一条匹配边。private static boolean dfs(int start, boolean[] vis, int[] mc) {for (int i = 1; i <= m; i++) { // 枚举男生集if (!vis[i] && map[start][i] == 1) { // 如果这个男生没被匹配并且和当前的start有边相连vis[i] = true; // 将这个男生标记为匹配过//***//以下判断语句中dfs递归调用，对应匈牙利算法中寻找增广路径并取反的操作，大家可以试着手动推理一下if (mc[i] == -1 || dfs(mc[i], vis, mc)) { // 这个男生没有和女生匹配 || 这个男生所连的女生还有别的选择，就把这个男生"腾"出来mc[i] = start;return true;}}}return false;}
}

Go：

有时间再把go的代码实现并添加过来，先画个饼。

四、总结

匈牙利算法的核心在于找增广路径，注意增广路径的三个性质。文中伪代码部分可以当成是解决这类问题的模板。

本文内容也是我自己对于算法的理解，可能存在错误，欢迎批评指正。

五、参考博客

https://blog.csdn.net/lemonxiaoxiao/article/details/108672039

https://zhuanlan.zhihu.com/p/208596378

https://www.cxyxiaowu.com/874.html