匈牙利算法求二分图最大匹配

匈牙利算法

1. 二分图

二分图： 又称作二部图，是图论中一种特殊模型。设G=（V，E）是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集（A，B），并且图中每条边所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集（i∈A,j∈Bi \in A,j \in Bi∈A,j∈B），则称图G为一个二分图。

简单来说，如果图中所有顶点可以被分为两个集合，图中所有的边的头和尾不属于同一个顶点集合，而是跨越两个集合，则这个图是一个二分图。

二分图当且仅当图中不含奇数环

如何判断二分图？染色法

// 判断从某个节点出发，是否所有连通节点都满足相邻节点不同颜色
bool dfs(std::vector<std::vector<int>> &graph, std::vector<int> &st, int i, int color)
{// 之前被染色的情况if (st[i]){if (st[i] == color) return true;else return false;  // st[i] != color 矛盾}st[i] = color;for (int j: graph[i]){// 颜色1、2之间的切换可以用3-colorif(!dfs(graph, st, j, 3 - color)) return false;}return true;
}// 检查邻接表graph是否为二分图
bool check(std::vector<std::vector<int>> &graph)
{int n = graph.size();std::vector<int> st(n, 0);     // st: 标记染色，0(未染色)，1和2为相邻节点颜色。bool ans = true;for (int i = 0; i < n; i ++){if (!st[i] && !dfs(graph, st, i, 1)){ans = false;break;}}return ans;
}

import sys
# 设置递归栈次数
sys.setrecursionlimit(100000)def dfs(graph, st, i, color):if st[i]:if st[i] == color:return Trueelse:return Falsest[i] = colorfor j in graph[i]:if not dfs(graph, st, j, 3 - color):return Falsereturn Truedef check(graph):n = len(graph)st = [0 for _ in range(n)]ret = Truefor i in range(n):if not st[i] and not dfs(graph, st, i, 1):ret = Falsebreakreturn ret

2. 匹配

**匹配：**在图论中，一个匹配（matching）是指一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
**最大匹配：**一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
**完美匹配：**如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。完美匹配一定是最大匹配，但并非每个图都存在完美匹配。

3. 路径

**交替路径：**从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径称为交替路径。
**增广路径：**从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。
增广路径的性质：
- P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
- P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
- M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

4. 匈牙利算法

**匈牙利算法：**利用增广路径求二分图的最大匹配算法称作匈牙利算法。（匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。
**基本思想：**通过寻找增广路径，把增广路径中的匹配边和非匹配边的相互交换，这样就会多出一条匹配边，直到找不到增广路径为止。

// find: 对于集合1的点i，找集合2的匹配对象，成功返回true
// graph: 邻接表
// match: 记录集合2的匹配对象，没有匹配为-1
bool find(std::vector<std::vector<int>> &graph, std::vector<int> &macth, std::vector<bool> &st, int i)
{for (int j: graph[i]){// 已经访问了集合2的对象j，那么跳过if (st[j]) continue;st[j] = true;// j没有被匹配或者j之前的匹配对象macth[j]可以另外被配对if (macth[j] == -1 || find(graph, macth, st, macth[j])){macth[j] = i;return true;}}return false;
}
// hungarian: 求二分图最大匹配，返回最大匹配数量
// graph: 邻接表
// n1: 集合1大小
// n2: 集合2大小
int hungarian(std::vector<std::vector<int>> &graph, int n1, int n2)
{int ans = 0;// match: 记录集合2的匹配对象，没有匹配为-1std::vector<int> macth(n2, -1);for (int i = 0; i < n1; i ++){// st: 记录每次查找是否访问了集合2中的对象std::vector<bool> st(n1, false);if (find(graph, macth, st, i)) ans ++;}return ans;
}

def find(graph, macth, st, i):for j in graph[i]:if st[j]:continuest[j] = Trueif macth[j] == -1 or find(graph, macth, st, macth[j]):macth[j] = ireturn Truereturn Falsedef hungarian(graph, n1, n2):ans = 0match = [-1 for _ in range(n2)]for i in range(n1):st = [False for _ in range(n2)]    if find(graph, match, st, i):ans += 1return ans

5. 算法应用

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