浅谈匈牙利算法(二分图最大匹配)

前置知识

一张图是二分图，当且仅当它的点可以被分成两部分，而这张图上的所有边的两个端点，都分属不同的部分。我们称这两个点集，一个叫左部，一个叫右部。左部中的点叫左部点；右部中的点叫右部点。

一张图的一个匹配是一些没有公共端点的边。可以想象，对于一个二分图而言，显然一个匹配是对于每一个左部点，连一条边向一个右部点，或者不向右部点连边。但是每个左部点不会对应两个或以上的右部点。

这里现在浅谈一下匈牙利算法

常用的二分图匹配算法是匈牙利算法，其正确性基于 hall 定理，本质是不断寻找增广路来扩大匹配数。

匈牙利算法时间复杂度O(ne+m)或O(me+n)，其中 n 是左部点个数，e 是图的边数，m 是右部点个数。这里用到的小trick就是对于左部点到底选用n还是m，不同的选取时间复杂度可能会大不相同

还有一个更优的网络流dinic做法，时间复杂度O(n $\sqrt{e}$ ),具体的，建立超级源点和超级汇点，源点向左侧连边，右侧向汇点连边。左右之间连边。上述边的流量都是 1 。由于 s 到点左侧任意一点 u 的流量是1，所以 u 最多被选择一次。同理右边的点也最多被选择一次。于是这个图的网络最大流即为该二分图的最大匹配。

匈牙利算法的过程是，枚举每一个左部点 u ，然后枚举该左部点连出的边，对于一个出点 v，如果它没有被先前的左部点匹配，那么直接将 u 匹配 v，否则尝试让 v 的“原配”左部点去匹配其他右部点，如果“原配”匹配到了其他点，那么将 u 匹配 v，否则 u 失配。

尝试让“原配”寻找其他匹配的过程可以递归进行。需要注意的是，在一轮递归中，每个右部点只能被访问一次。

献上模板题

【模板】二分图最大匹配 - 洛谷

AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m, e;cin >> n >> m >> e;vector<vector<int>> G(n + 1);for (int i = 0; i < e; i++) {int u, v;cin >> u >> v;G[u].push_back(v);}vector<int> vis(n + 1);vector<int> match(m + 1);int ans = 0;function<bool(int, int)> dfs = [&](int u, int tag) {if (vis[u] == tag) {return false;}vis[u] = tag;for (auto v : G[u]) {if (match[v] == 0 or dfs(match[v], tag)) {match[v] = u;return true;}}return false;};for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dfs(i, i)) {ans++;}}cout << ans << '\n';return 0;
}

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