[BZOJ 5339] 教科书般的亵渎

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5339
题面
思路
观察一下可知k=m+1k=m+1k=m+1
将aia_iai从小到大排个序，再加上一个a0=0a_0=0a0=0那么我们需要计算m+1m+1m+1次，每次计算仍在场上的怪物血量的k次方之和，那么最终答案就是∑i=0m(∑j=ai+1n−ai(j−ai)k−∑j=i+1m(aj−ai)k)\sum_{i=0}^m(\sum_{j={a_i+1}}^{n-a_i}(j-a_i)^k-\sum_{j=i+1}^m(a_j-a_i)^k)∑i=0m(∑j=ai+1n−ai(j−ai)k−∑j=i+1m(aj−ai)k)_再取个模。
由拉格朗日插值法（这里百度百科）
我们令f(n)=∑j=1njkf(n)=\sum_{j={1}}^{n}j^kf(n)=∑j=1njk那么我们只需取k+1k+1k+1个点x0=0,x1=1……xk=kx_0=0,x_1=1……x_k=kx0=0,x1=1……xk=k分别计算出f(1),f(2)……f(k)f(1),f(2)……f(k)f(1),f(2)……f(k)。那么就有f(n)=(n−x1)(n−x2)……(n−xk)(x0−x1)(x0−x2)……(x0−xk)y0+(n−x0)(n−x2)……(n−xk)(x1−x0)(x1−x2)……(x1−xk)y1+……(n−x0)(n−x1)……(n−xk−1)(xk−x0)(xk−x1)……(xk−xk−1)ykf(n)=\frac{(n-x_1)(n-x_2)……(n-x_k)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)……(x_0-x_k)}y_0+\frac{(n-x_0)(n-x_2)……(n-x_k)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)……(x_1-x_k)}y_1+……\frac{(n-x_0)(n-x_1)……(n-x_{k-1})}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)……(x_k-x_{k-1})}y_kf(n)=(x0−x1)(x0−x2)……(x0−xk)(n−x1)(n−x2)……(n−xk)y0+(x1−x0)(x1−x2)……(x1−xk)(n−x0)(n−x2)……(n−xk)y1+……(xk−x0)(xk−x1)……(xk−xk−1)(n−x0)(n−x1)……(n−xk−1)yk考虑到除法不太好算，我们需要对分母求逆元（费马小定理相关）if(sum>0)x[i]=fast_pow(sum,MOD-2);else x[i]=-fast_pow(-sum,MOD-2);

然后暴力算（对于后面需要减去的部分暴力枚举算）即可。单次计算的时间复杂度是O（k2）O（k^2）O（k2）
总计时间复杂度O(k3)O(k^3)O(k3)

AC代码

#include<stdio.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define MOD 1000000007
typedef long long LL;
using namespace std;
int t;
LL n,m,ans;
LL cz[100];
LL x[100],y[100];
long long fast_pow(long long target,long long p);
void pre()
{LL te=m+2;LL sum=0;for(LL i=1;i<=te;i++){sum+=fast_pow(i,m+1);sum%=MOD;y[i]=sum;}for(LL i=1;i<=te;i++){sum=1;for(LL j=0;j<=te;j++) if(j!=i){sum*=(i-j);if(sum>MOD)sum%=MOD;else if(-sum>MOD)sum=-(-sum%MOD);}if(sum>0)x[i]=fast_pow(sum,MOD-2);else x[i]=-fast_pow(-sum,MOD-2);//记录每个分母的逆元}
}
LL calc(LL now)
{LL te=m+2;LL sum,cot=0;for(LL i=1;i<=te;i++){sum=1;for(LL j=0;j<=te;j++)if(j!=i){sum*=(n-cz[now]-j);sum%=MOD;}sum*=y[i];sum%=MOD;sum*=x[i];if(sum>0)sum%=MOD;else sum=-(-sum%MOD);cot+=sum;}for(LL i=now+1;i<=m;i++)cot-=fast_pow(cz[i]-cz[now] ,m+1);if(cot<0)cot+=(((-cot)/MOD+1)*MOD);cot%=MOD;return cot;
}
int main()
{scanf("%d",&t);while(t--){ans=0;scanf("%lld%lld",&n,&m);for(LL i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&cz[i]);sort(cz+1,cz+m+1);pre();//预处理求每个对应的y以及每个分母的逆元（显然分母不变）for(LL i=0;i<=m;i++)ans+=calc(i);//计算每次的值，累加ans%=MOD; printf("%lld\n",ans);}return 0;
}
long long fast_pow(long long target,long long p)
{long long a[50];a[1]=target;for(int i=2;i<50;i++){a[i]=a[i-1]*a[i-1];a[i]%=MOD;}long long ans=1;for(int i=1;p;i++){if(p%2) ans=(ans*a[i])%MOD;p/=2;}return ans;
}

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