BZOJ5339: [TJOI2018]教科书般的亵渎-组合数学

传送门

题意：

在炉石传说中有这样的一个场面：n个随从，血量为1~n，现在去除m个随从，然后开始释放“亵渎”。每使用一张“亵渎”会获得一定的分数，分数计算如下：在使用一张“亵渎”之后，每一个被亵渎造成伤害的怪会产生 xk x k x^k的分数，其中x是造成伤害前怪的血量，k是需要杀死所有怪物所需的“亵渎”的张数。

n≤1013m≤50 n ≤ 10 13 m ≤ 50 n≤10^{13} m≤50

Solution:

可以发现这是若干个形如 Sum(n,k)=∑ni=1ik S u m ( n , k ) = ∑ i = 1 n i k Sum(n,k)=\sum_{i=1}^ni^k的式子组成的

这就是经典的自然数幂和问题了

可以用累加法：

首先有一个式子： (n+1)k−nk=∑ki=1Cik∗nk−i ( n + 1 ) k − n k = ∑ i = 1 k C k i ∗ n k − i (n+1)^k-n^k=\sum_{i=1}^kC_k^i*n^{k-i}

左边组合意义是k个球涂n+1种颜色的方案数和k个球涂n种颜色的方案数

右边组合意义是在k个球选一些球涂第n+1种颜色，其他球随便涂的方案数

然后我们可以通过上面的式子列出若干式子：

(n+1)k−nk=∑ki=1Cik∗nk−i ( n + 1 ) k − n k = ∑ i = 1 k C k i ∗ n k − i (n+1)^k-n^k=\sum_{i=1}^kC_k^i*n^{k-i}

nk−(n−1)k=∑ki=1Cik∗(n−1)k−i n k − ( n − 1 ) k = ∑ i = 1 k C k i ∗ ( n − 1 ) k − i n^k-(n-1)^k=\sum_{i=1}^kC_k^i*(n-1)^{k-i}

(n−1)k−(n−2)k=∑ki=1Cik∗(n−2)k−i ( n − 1 ) k − ( n − 2 ) k = ∑ i = 1 k C k i ∗ ( n − 2 ) k − i (n-1)^k-(n-2)^k=\sum_{i=1}^kC_k^i*(n-2)^{k-i}

... . . . ...

2k−1k=∑ki=1Cik∗1k−i 2 k − 1 k = ∑ i = 1 k C k i ∗ 1 k − i 2^k-1^k=\sum_{i=1}^kC_k^i*1^{k-i}

全都加起来可以得到： (n+1)k−1=∑ki=1Cik∗Sum(n,k−i) ( n + 1 ) k − 1 = ∑ i = 1 k C k i ∗ S u m ( n , k − i ) (n+1)^k-1=\sum_{i=1}^kC_k^i*Sum(n,k-i)

即 (n+1)k+1−1=∑k+1i=1Cik+1∗Sum(n,k−i+1) ( n + 1 ) k + 1 − 1 = ∑ i = 1 k + 1 C k + 1 i ∗ S u m ( n , k − i + 1 ) (n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*Sum(n,k-i+1)

(n+1)k+1−1=∑k+1i=2Cik+1∗Sum(n,k−i+1)+(k+1)∗Sum(n,k) ( n + 1 ) k + 1 − 1 = ∑ i = 2 k + 1 C k + 1 i ∗ S u m ( n , k − i + 1 ) + ( k + 1 ) ∗ S u m ( n , k ) (n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^i*Sum(n,k-i+1)+(k+1)*Sum(n,k)

Sum(n,k)=(n+1)k+1−1−∑k−1i=0Cik+1∗Sum(n,i)k+1 S u m ( n , k ) = ( n + 1 ) k + 1 − 1 − ∑ i = 0 k − 1 C k + 1 i ∗ S u m ( n , i ) k + 1 Sum(n,k)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{i=0}^{k-1}C_{k+1}^i*Sum(n,i)} {k+1}

这样我们就可以 O(k2) O ( k 2 ) O(k^2)的递推了，临界点是 Sum(n,0)=n S u m ( n , 0 ) = n Sum(n,0)=n 记忆化搜索即可

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
long long n,nw,a[55];
int T,mi,k,ans[55],c[55][55];
int fast_pow(int x,int a)
{int ans=1;for (;a;x=1ll*x*x%mod,a>>=1)if (a&1) ans=1ll*ans*x%mod;return ans;
}
int S(int k)
{if (k==0) return nw%mod;if (ans[k]) return ans[k];int Ans=fast_pow((nw+1)%mod,k+1);//cout<<Ans<<endl;int jian=1;for (int i=0;i<=k-1;i++) jian=(jian+1ll*c[i][k+1]*S(i))%mod;Ans=(Ans+mod-jian)%mod;Ans=(1ll*Ans*fast_pow(k+1,mod-2))%mod;ans[k]=Ans;return Ans;
}
int main()
{c[0][0]=1;for (int i=1;i<=52;i++){c[0][i]=1;for (int j=1;j<=i;j++) c[j][i]=(1ll*c[j][i-1]+c[j-1][i-1])%mod;}scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%lld%d",&n,&k);for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%lld",&a[i]);sort(a+1,a+1+k);mi=k+1;int tot=0;nw=n;for (int i=1;i<=k;i++){memset(ans,0,sizeof(ans));tot=(1ll*tot+S(mi))%mod;for (int j=i;j<=k;j++) tot=(1ll*tot-fast_pow((a[j]-n+nw)%mod,mi)+mod)%mod;//cout<<tot<<endl;nw-=a[i]-a[i-1];}memset(ans,0,sizeof(ans));//cout<<nw<<endl;tot=(1ll*tot+S(mi))%mod;printf("%d\n",tot);}
}

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