《陶哲轩实分析》习题10.4.1
设$n$是正自然数,并设$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$是函数$g(x):x^{\frac{1}{n}}$.
a):证明$g$在$(0,+\infty)$上连续.
证明:$\forall x_0\in (0,+\infty)$,$x_1\in (0,+\infty)$,$\frac{x_0^{\frac{1}{n}}}{x_1^{\frac{1}{n}}}=(\frac{x_0}{x_1})^{\frac{1}{n}}$.令$x_0=x_1+\varepsilon$.则
\begin{equation}
\label{eq:9.23.20}
(\frac{x_0}{x_1})^{\frac{1}{n}}=(1+\frac{\varepsilon}{x_1})^{\frac{1}{n}}
\end{equation}
下面证明$\lim_{\varepsilon\to 0}(1+\frac{\varepsilon}{x_1})^{\frac{1}{n}}=1$.即证$\lim_{\varepsilon\to 0}1+\frac{\varepsilon}{x_1}=1$(为什么?注意到$n$是常数),而这是容易的.
b):证明$g$在$(0,+\infty)$上可微,且$\forall x\in (0,+\infty)$,$g'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$.
证明:让我们先看函数$g^{-1}(x):(0,+\infty)\to (0,+\infty)$.易得$g^{-1}(x)=x^n$.易得$(g^{-1}(x))'=nx^{n-1}$.易得$\forall x\in (0,+\infty)$,$(g^{-1}(x))'\neq 0$.而且由于$g$在$(0,+\infty)$上连续,因此由反函数定理,可得$g'(y_0)=\frac{1}{(g^{-1}(x_0))'}=\frac{1}{nx_0^{n-1}}$.其中$g^{-1}(x_0)=y_0$,即$x_0^n=y_0$.因此$g'(y_0)=\frac{1}{ny_0^{\frac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n}y_0^{\frac{1}{n}-1}$.得证.
转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/10/10/3828249.html
《陶哲轩实分析》习题10.4.1相关推荐
- 陶哲轩实分析 习题 10.3.5
构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微,并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是 ...
- 陶哲轩实分析习题17.1.2
陶哲轩实分析习题17.1.2 转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/10/3828300.html
- 陶哲轩实分析引理10.4.1:反函数定理
设$f:X\to Y$是可逆函数,反函数为$f^{-1}:Y\to X$.设$x_0\in X,y_0\in Y$,且$y_0=f(x_0)$(它蕴含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在 ...
- 陶哲轩实分析 习题 12.5.12
设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间. (a)证明 $X$ 是完备的. \begin{proof} 即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个 ...
- 陶哲轩实分析习题9.1.1
设$X$是实直线的子集合,并设$Y$是集合,使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$. 证明:因为$X\ ...
- 陶哲轩实分析命题10.1.7
设$X$是$\mathbf{R}$的子集合,$x_0$是$X$的极限点,设$f:X\to\mathbf{R}$是函数,并设$L$是实数,则下述命题在逻辑上等价: (a):$f$在$x_0$处在$X$上 ...
- 陶哲轩实分析 习题 13.4.6
设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ ...
- 陶哲轩实分析 习题 7.5.2
设$x,q\in\mathbb{R}$,且$|x|<1$.证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$绝对收敛,且$\lim_{n\to\infty}n^qx^n=0$. 证明 ...
- 陶哲轩实分析 习题 7.2.6 (嵌套级数)
设$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是收敛于0的实数列.则级数$\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-a_{n+1})=a_0$ 证明:先看$\sum_{n=0}^N(a_n-a_ ...
- 陶哲轩实分析 习题 13.5.6
设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑. 证明:首先,$\emptyset\i ...
最新文章
- 详细解剖大型H5单页面应用的核心技术点
- uva 707(记忆化搜索)
- amp sqlserver中 什么意思_sql server中创建表时各个数据类型时什么意思??
- 社团管理信息系统C语言,学生社团信息管理系统.doc
- Example3_1
- ARM不同位数系统int字节数区别
- mysql privileges
- 超棒的30款JS类库和工具
- 设计模式学习之外观模式
- 项目开发:网上书店(详细的开发流程记录)----注册登录功能,通过邮件验证
- 徽州区数字城管平台智慧管理城市
- 微信视频号从零到月入万元攻略
- cocos2dx fnt字体、自定义字体制作
- 使用synchronized实现Lock接口的lock和unlock方法
- HBuilderX用uni-app做微信小程序授权登录
- NLP--2 语言结构和传统pipeline
- 窗口------菜单条 菜单 菜单项
- Packet Tracer相关命令
- RealPlay在Fedora13上的安装
- oracle复制另一个字段,【学习笔记】Oracle存储过程 表中列不同时动态复制表中数据到另一个表中...