扩展欧几里德算法的定义、解释、证明及其应用

定义：

对于不完全为0的两个整数a，b，gcd（a，b）表示a，b的最大公约数

则必然存在整数对x，y，使得gcd（a，b）=ax+by。

（由数论中的相关定理可知，至于这个相关定理是什么，我也不清楚我也不深究这个）

解法及证明：

①显然当b=0时，有x=1,y=0。

由欧几里德算法我们知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b)(PS:%为求余运算符)

所以我们可以得到以下关系式:a*x1+b*y1=b*x2+a%b*y2,该式等同于a*x1+b*y1=b*x2+(a-[a/b]*b)*y2

变形可得a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-[a/b])

所以我们可以得到以下递推式:x1=y2,y1=x2-[a/b],结合①为递推结束条件，即可求解.

代码实现:

void exgcd(int a,int b)
{if(b==0) {x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b);int t=y;y=x-a/b*y;x=t;
}

由一组解推出所有解：

已知x1,y1是二元一次方程ax+by=c的一组整数解，则其所有解的通式为x=x1+kb,y=y1-ka(k为整数）

证明：略

推广到一般二元一次方程求整数解：

例如我们要求二元一次方程ax+by=c的整数解

令d=gcd(a,b),如果c%d!=0的话，则无整数解（这个很容易证明，我就不多说了）

方程两边除以d得a/d*x+b/d*y=c/d，这里显然gcd(a/d,b/d)=1

所以我们可以先用扩展欧几里德算法求出a/d*x+b/d*y=1的解

然后求出的x和y再乘以c/d即为原二元一次方程的一组整数解

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