欧几里德和扩展欧几里德算法

1.欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r ，因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等

int gcd(int n,int m){if(m==0)  return n;return gcd(m,n%m);
}

或写成迭代形式

int gcd(int n,int m){while(m!=0){int t=m;m=n%m;n=t;}return n;
}

也或者是

int gcd(int n,int m)
{while(n!=m){if(n>m)    n=n-m;else m=m-n;}return n;
}

2.扩展欧几里德

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)，扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exGcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - a / b * y;return r;
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

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