欧几里德算法扩展欧几里德算法求解丢番图方程

2024-05-07 00:51:21

欧几里德算法

即辗转相除法，计算整数A, B最大公约数。

基本算法：设 a = kb + r，其中a，b，k，r都是整数，则 gcd(a,b) = gcd(b,r)，即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 。

证明：

a = kb + r; 则r = a%b ;
设m为 a , b 的一个公约数，则 m|a , m|b，而 r = a - kb; 所以 m|r (注:m整除r，r能被m整除)，因此m也是 (b , a%b) 的公约数；
设m为 b , r 的一个公约数，则 m|b , m|r，而 a = r + kb; 所以 m|a ，因此m也是 (a , b) 的公约数；
因此 (b , a%b) 与 (a , b) 公约数相同，最大公约数也一定相同，得证。

算法的C语言实现：

int gcd(int a,int b)
{if(b==0)return a;return gcd(b, a%b);
}

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 x，y ，使得 ax + by = gcd（a，b）。

证明：

前文得证 gcd(a,b) = gcd(b, a%b) ;
所以 ax + by = bx1 + a%by1 ;
化简得 ax + by = ay1 + b(x1 - (a/b)*y1) ;
得到：x = y1 ; y = b(x1 - (a/b)*y1) ;
递归的最终停止结果为 a = gcd( a , b) , b = 0 , 此时 x = 1 , y = 0 ;

扩展欧几里德递归代码实现：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exgcd(b,a%b,x,y);int temp = x;x = y;y = temp-a/b*y;return r;
}

扩展欧几里德算法求解丢番图方程

用扩展欧几里德算法求解丢番图方程 ax + by = c , 系数 a, b, c 为任意整数。

丢番图方程有解的充要条件为 c % gcd( a , b ) == 0 。

由前一章节可知 ax + by = gcd（a，b）存在整数解，因此 c % gcd( a , b ) == 0 为丢番图方程有解的充分条件（为什么是必要条件还不清楚？）

代码实现的话与扩展欧几里德算法基本相同，不同的地方就是最后的结果 x和y 要乘上倍数 c / gcd ( a, b) 。

参考链接http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

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