约束最优化方法 (二) Zoutendijk容许方向法

算法：(Zoutendijk法)

已知目标函数f(x)f(x)f(x)及其梯度∇f(x)\nabla f(x)∇f(x)，不等式约束中的矩阵AAA和向量bbb，等式约束中的矩阵CCC和向量ddd，终止限ε\varepsilonε。

选定初始容许点x0x_{0}x0；置k=0k=0k=0。
把AAA分解为Ak′A_{k}^{'}Ak′和Ak′′A_{k}^{''}Ak′′，相应地把bbb分解为bk′b_{k}^{'}bk′和bk′′b_{k}^{''}bk′′，使得Ak′xk=b′A_{k}^{'}x_{k}=b^{'}Ak′xk=b′，Ak′′xk′′≥bk′′A_{k}^{''}x_{k}^{''} \geq b_{k}^{''}Ak′′xk′′≥bk′′。设bk′′b_{k}^{''}bk′′的维数为τ\tauτ。
求解线性规划问题：
minp∇f(xk)Tps.t.Ak′p≥0Cp=0−e≤p≤emin_{p} \ \nabla f(x_{k})^{T}p \\ s.t. \ \ A_{k}^{'}p \geq 0 \\ Cp =0 \\ -e \leq p \leq e minp ∇f(xk)Tps.t. Ak′p≥0Cp=0−e≤p≤e
设其最优解为pkp_{k}pk。
若∣∇f(xk)Tpk∣<ε|\nabla f(x_{k})^{T}p_{k}| < \varepsilon∣∇f(xk)Tpk∣<ε，则打印xkx_{k}xk，停机；否则，计算u=Ak′′xk−bk′′u=A_{k}^{''}x_{k}-b_{k}^{''}u=Ak′′xk−bk′′，v=Ak′′pkv=A_{k}^{''}p_{k}v=Ak′′pk。
若p≥0p \geq 0p≥0，则作直线搜索xk+1=1s(xk，pk)x_{k+1}=1s(x_{k}，p_{k})xk+1=1s(xk，pk)；否则，计算
t‾=min1≤i≤ε{−uivi∣vi<0}\overline{t}=min_{1 \leq i \leq \varepsilon} \{ -\frac{u_{i}}{v_{i}}| v_{i} < 0 \} t=min1≤i≤ε{−viui∣vi<0}
并求解：
mintf(xk+tpk);s.t.0≤t≤t‾min_{t}f(x_{k}+tp_{k}); \\ s.t. \ \ 0 \leq t \leq \overline{t} mintf(xk+tpk);s.t. 0≤t≤t
设其最优解为tkt_{k}tk；计算xx+1=xk+tkpkx_{x+1}=x_{k}+t_{k}p_{k}xx+1=xk+tkpk。
置k=k+1k=k+1k=k+1，转2。

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