正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/problem/912

题目大意

给出L,RL,RL,R，求有多少长度在[L,R][L,R][L,R]之间的字符串满足依次取出所有偶数位置的放在最前面后，与原字符串相同。字符集是所有小写字母。

1≤Q≤5,1≤L≤R≤1010,R−L≤5×1041\leq Q\leq 5,1\leq L\leq R\leq 10^{10},R-L\leq 5\times 10^41≤Q≤5,1≤L≤R≤1010,R−L≤5×104

解题思路

这个东西可以理解为给出一些相等关系的边，然后求联通块的数量GGG，然后方案就是26G26^G26G。

设G(x)G(x)G(x)表示xxx的联通块数量。首先奇偶数不一样很麻烦，发现如果对于奇数xxx有G(x)=G(x−1)+1G(x)=G(x-1)+1G(x)=G(x−1)+1（最后一个自己连自己）。所以我们只需要考虑偶数的。

nnn为偶数时给出的条件其实就是Si=S2i%(n+1)S_i=S_{2i\%(n+1)}Si=S2i%(n+1)，然后此时考虑点xxx，有d=gcd(x,n+1)d=gcd(x,n+1)d=gcd(x,n+1)，那么有x=dkx=dkx=dk。我们让xxx向2x%(n+1)2x\%(n+1)2x%(n+1)连边，考虑求出xxx所在环的环长，也就是求一个最小的rrr满足x×2r≡x(modn+1)x\times2^r\equiv x(mod\ \ n+1)x×2r≡x(mod n+1)，就是满足2r≡1(modn+1gcd(x,n+1))2^r\equiv1(mod\ \ \frac{n+1}{gcd(x,n+1)})2r≡1(mod gcd(x,n+1)n+1)，后文记做ord(n+1gcd(x,n+1))ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})ord(gcd(x,n+1)n+1)。然后满足gcd(x,n+1)=dgcd(x,n+1)=dgcd(x,n+1)=d的都在一些大小为rrr的环中相互连接，这样的xxx有φ(n+1gcd(x,n+1))\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})φ(gcd(x,n+1)n+1)个。所以这样的环有φ(n+1gcd(x,n+1))ord(n+1gcd(x,n+1))\frac{\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}{ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}ord(gcd(x,n+1)n+1)φ(gcd(x,n+1)n+1)，然后改成枚举n+1gcd(x,n+1)\frac{n+1}{gcd(x,n+1)}gcd(x,n+1)n+1就有一个比较舒服的式子
G(n)=∑d∣n,d>1φ(d)ord(d)G(n)=\sum_{d|n,d>1}\frac{\varphi(d)}{ord(d)}G(n)=d∣n,d>1∑ord(d)φ(d)

上面那个φ\varphiφ很好求，考虑怎么求下面那个ordordord。
和原根类似的使用试除法，首先根据欧拉定理肯定有ord(n)∣φ(n)ord(n)|\varphi(n)ord(n)∣φ(n)。然后考虑对于φ(n)\varphi(n)φ(n)的每个约数xxx如果满足2wx≡1(modn)2^{\frac wx}\equiv 1(mod\ \ n)2xw≡1(mod n)就代表可以除去这个xxx。

但是这样每次来搞还是很慢，这里还有一个挺显然的结论
gcd(x,y)=1⇒ord(x×y)=lcm(ord(x),ord(y))gcd(x,y)=1\Rightarrow ord(x\times y)=lcm(\ ord(x),ord(y)\ )gcd(x,y)=1⇒ord(x×y)=lcm( ord(x),ord(y) )
证明的话首先定理a=lcm(x,y)a=lcm(x,y)a=lcm(x,y)，再设一个2b≡1(modxy)2^b\equiv 1(mod\ xy)2b≡1(mod xy)，那么有2b−a≡1(modxy)2^{b-a}\equiv1(mod\ xy)2b−a≡1(mod xy)，然后这样更相减损下去最后就有2gcd(a,b)≡1(modxy)2^{gcd(a,b)}\equiv 1(mod\ xy)2gcd(a,b)≡1(mod xy)，所以如果b<ab<ab<a那么有，然后因为a=lcm(x,y)a=lcm(x,y)a=lcm(x,y)也就是这个就是新的最小的gcdgcdgcd。

所以我们就只需要求出所有需要的ord(pk)ord(p^k)ord(pk)就好了。

然后我们可以先枚举R\sqrt RR以内的质数然后来给所有[L,R][L,R][L,R]中的数质因数分解，然后对于里面的每个xxx用搜索来求所有的约数。

code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
#define ll __int128
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e9+7;
ll q,L,R,ans,tot,cnt,G;
ll pri[N],phi[N],mk[N][35],p[35],c[35];
bool v[N];vector<ll >cp[N];
map<ll,map<ll,ll> >mp;
ll read() {ll x=0,f=1; char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();return x*f;
}
void print(ll x){if (x>9) print(x/10); putchar(x%10+48); return;
}
ll power(ll x,ll b,ll P){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
ll ord(ll p,ll k){if(p<N&&mk[p][k])return mk[p][k];if(p>pri[cnt]&&mp[p][k])return mp[p][k];ll m=power(p,k,1e18),x,w=p-1;x=m/p*(p-1); while(x%p==0){ll z=power(2,x/p,m);if(z!=1)break;x/=p;}if(w>=L&&w<=R+2){ll wz=w-L;for(ll wc=0;wc<cp[wz].size();wc++){ll i=cp[wz][wc];while(x%pri[i]==0){ll z=power(2,x/pri[i],m);if(z!=1)break;x/=pri[i];}while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];} }else{for(ll i=1;pri[i]*pri[i]<=w&&i<=cnt;i++){if(w%pri[i])continue;while(x%pri[i]==0){ll z=power(2,x/pri[i],m);if(z!=1)break;x/=pri[i];}while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];}}if(w>1){if(x%w==0){ll z=power(2,x/w,m);if(z==1)x/=w;}}if(p<N)mk[p][k]=x;else mp[p][k]=x;return x;
}
void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;}}return;
}
ll lcm(ll x,ll y){ll d=__gcd(x,y);return x*y/d;
}
void dfs(ll x,ll ph,ll od){if(x>tot){G+=ph/od;return;}dfs(x+1,ph,od);for(ll i=1,w=p[x];i<=c[x];i++)dfs(x+1,ph*(w/p[x]*(p[x]-1)),lcm(od,ord(p[x],i))),w=w*p[x];return;
}
ll work(ll n){tot=0;ll wz=n-L;for(ll w=0;w<cp[wz].size();w++){ll i=cp[wz][w];p[++tot]=pri[i];c[tot]=0;while(n%pri[i]==0)c[tot]++,n/=pri[i];}if(n>1)p[++tot]=n,c[tot]=1;G=-1;dfs(1,1,1);return G;
}
signed main()
{//  freopen("language.in","r",stdin);
//  freopen("language.out","w",stdout);
//  scanf("%lld",&q);q=read();prime();while(q--){//      scanf("%lld%lld",&L,&R);L=read();R=read();ans=0;for(ll i=0;i<=R-L+2;i++)cp[i].clear();for(ll i=1;i<=cnt;i++){ll x=pri[i],l=L/x,r=(R+2)/x;for(ll j=l;j<=r;j++){if(j*x<L||j*x>R+2)continue;cp[j*x-L].push_back(i);}}for(ll i=L/2;i<=R/2;i++){ll tmp=work(i*2ll+1);if(i*2ll>=L)ans=(ans+power(26,tmp,P))%P;if(i*2ll+1<=R)ans=(ans+power(26,tmp+1,P))%P;}print(ans);putchar('\n');
//      printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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