Segment 2:Introduction Number Theory——Fermat and Euler【费马定理和欧拉定理】

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Segment 2:Introduction Number Theory——Fermat and Euler【费马定理和欧拉定理】
- 2.1 Fermat’s theorem【费马定理】
- - 1、Fermat’s thoerem的定义
  - 2、费马定义的一个应用
  - 3、the structure of (Zp)*——【(Zp)*的结构】
  - 4、Order【定义g的生成群的大小——即是g在(Zp)*里的阶】
  - 5、 the theorem of lagrange【拉格朗日定理】（这里只是说的拉格朗日定理的一个特例）
  - 6、Euler’s generalization of Fermat【欧拉定理：一个费马定理的直接推广或一般化】欧拉定理是RSA密码系统的基础；

2.1 Fermat’s theorem【费马定理】

1、Fermat’s thoerem的定义

Zp不仅表示的是{0，1，2，……p-1}，也是模p运算；
x∈(Zp)*表示的是：在Zp中的所有可逆元素的集合；

（如上图）
1》 Fermat’s theorem【费马定理】描述：若p是素数（或叫质数），x是正整数且不能被p整除，则x^p-1≡1 (mod p).或是

2》并且上图中的Example满足费马定理
3》我们看在费马小定理中的一个简单应用，假设给Z_P^*里的一个元素x，我想说的是这里的p必须是质数，由费马定义可知上述1中的式子；这就给我们另一个计算x模一个质数的逆的算法；计算X^(p-2);就会得到x的逆；实际上这是一个计算模一个质数的逆的好的方法，但是与欧几里德算法相比有俩个不足。首先：他只能工作在质数模（即mod p）上，而Euclid算法还可以工作在合数模上；第二实际这个算法效率更低，这个算法会花掉大约logP的三次方；但是欧几里得算法中计算逆只会花掉logp的平方时间内。

2、费马定义的一个应用

（如上图），假设我们想生成一个随机的大质数，比如说：我们的质数需要有1024位长，我们要找的质数是2的1024次方的量级，这是一个非常简单的概率问题。
1》 step1：我们可以选择一个随机整数p，方范围是在21024到21025-1的范围。
2》然后测试，我们选取的这个整数p是否满足费马定理，换句话说，我们可以用2为底数进行检测；如果这个等式不成立；那么我们知道我们选择的这个数p一定不是一个质数，不成立返回step 1即可；知道选取的p满足费马定理这个式子；实际上，虽然很难证明，但是如果一个随机数通过这里的检测，那么它极有可能是质数，特别地，这个p不是质数的概率非常小；小于2^(-60);随着数p的变大，当它通过这里的测试但不是质数的概率会迅速向0衰减；
【因此上面的算法，不能保证输出的p一定是一个质数，但是我们知道它非常可能是一个质数。尽管在实际中，我们并不用这个方法来生成质数，但是大家可能想知道这个迭代需要重复多少次，有一个经典的结果叫做质数定理，这个定理是说，经过几百次迭代我们就能以很高的概率找到质数，】

3、the structure of (Zp)——【(Zp)的结构】

（如上图）
1> 用现代的语言【欧拉定理】来讲，(Zp)*是一个循环群。(Zp)*是一个循环群是什么意思？这意味着(Zp)里有某个元素g，如果我们选取g计算g的一组幂，g²，g³，g⁴.。。因为根据费马定理，g^(p-1)=1 in Zp…我们就得到了一个循环，如果我们增加g的指数，我们可以就停在g^(p-2);
2> Euler【欧拉】证明了事实上，有这么一个元素g，如果你看它的所有幂，可以扩展成整个群(Zp)，g的幂给出了(Zp)*里的所有元素，这样的元素g叫做生成元。那么g就叫做(Zp)*的一个生成元；

Example:p=7,看3的所有幂，如下图，由3⁶=1即没必要写了；所以说3是的一个生成元【generator】。

但是不是所有Zp{0}每个元素都是生成元。例如：如果我们看2的所有幂，因为当2^3=8 mod 7 =1[也就循环回来了] ，并不会生成整个群因此我们说2不是的(Z7)*生成元。

4、Order【定义g的生成群的大小——即是g在(Zp)*里的阶】

1、一个很常用的是：给定(Zp)*里的一个元素g，如果我们看g的全体幂组成的集合，得到的集合就叫做g的生成群【the group generated by G】；它们给了我们一个乘法群【multiplicative group】,用表示g的生成群；
2、然后我们把g的生成群的大小叫做g在(Zp)*里的阶(order)；换一个表示方法，如下：

对有上图的一些记号，如下图可能会有比较好的理解：

例如：看在各个元素的阶，如下图：

5、 the theorem of lagrange【拉格朗日定理】（这里只是说的拉格朗日定理的一个特例）

定理说：有限子群的阶必然必然整除有限群的阶；拉格朗日定理意味着：如果你看g模p的这个阶始终整除p-1；即你的阶始终是p-1的因子；

举例如下：

6、Euler’s generalization of Fermat【欧拉定理：一个费马定理的直接推广或一般化】欧拉定理是RSA密码系统的基础；

1、定义：欧拉定义了下面这个函数，那么给定了一个整数N，欧拉定义了函数Ψ，有时也叫做欧拉的Ψ函数，例如：Ψ(N)表示了(Z_N)*的大小；其中(Z_N)*表示的是N中的可逆元素。当N为素数p时，有Ψ§=p-1;【不包含0元素】

这里要说的是：之后再RSA系统中我们要用到的，如果N正好是两质数p和q的乘积？为什么下面这个会成立？因为N是Z_N的大小，现在我们要移除所有与N不是互质的元素，一个元素如何才能不与N互质呢？它要不被p整除，也要不被q整除，那么在0到N-1之间，有多少元素能被p整除？一定有q个；又有多少元素能被q整除？一定有p个；那么我们用N-p-q；但是大家注意，在这其中减去了0俩次；因为0同时被p和q整除；故N-p-q+1;

Euler Thm【欧拉定理】：如果你给我(ZN)*中的任意元素X，事实上，X的Ψ(N)次方在Z_N中一定等于1；这是一个费马定理的一个推广

对于质数而言，我们知道Ψ§=p-1;换句话说，如果N是质数，我们再这里这下p-1；那么我们就得到了费马定理；但是这个欧拉定理最棒的地方在于：他也适用在于合数，不仅仅是质数；