正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7044?contestId=36089

题目大意

一个括号序列，0级偏值定义为其中不合法的括号数量。
kkk级偏值定义为它所有子串的k−1k-1k−1级偏值的和。
求这个括号序列的kkk级偏值。

解题思路

后文中我们定义G(x,y)=Cx+y−1yG(x,y)=C_{x+y-1}^yG(x,y)=Cx+y−1y

考虑每一对括号的贡献，不合法情况为只选择左括号或者只选择右括号。我们设他们为[l,r][l,r][l,r]，那么只包含左括号就是L∈[1,l],R∈[l,r−1]L\in[1,l],R\in[l,r-1]L∈[1,l],R∈[l,r−1]的区间。转换到kkk阶就是G(l,k)G(l,k)G(l,k)。

右边就不同了，我们观察一下每个阶时的值

r-3	r-2	r-1	r	r+1
1	1	1	0	0
1	2	3	3	3
1	3	6	9	12

不难发现到后面(x,y)(x,y)(x,y)这个位置就是G(x,y)−G(x−r+l−1,y)G(x,y)-G(x-r+l-1,y)G(x,y)−G(x−r+l−1,y)

用组合数统计答案即可。

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)（线性预处理逆元可以做到O(n)O(n)O(n)）

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e6+10,XJQ=998244353;
ll n,k,ans,fac[N],inv[N];
char s[N];stack<int> S;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
ll G(ll n,ll m){if(n<=0||m<0)return 0;n=n+m-1;return fac[n]*inv[m]%XJQ*inv[n-m]%XJQ;
}
ll solve(ll l,ll r,bool op){ll ans=1;if(op)l=n-l+1,r=n-r+1,swap(l,r);ans=(G(r,k)-G(l-1,k)+XJQ)%XJQ;return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);ll lim=max(n,k);fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=1;i<=2*lim;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;inv[i]=power(fac[i],XJQ-2);}scanf("%s",s+1);for(ll i=1;i<=n;i++){if(s[i]=='(')S.push(i);else{if(!S.empty()){ans=(ans+solve(1,S.top(),0)*solve(S.top(),i-1,1)%XJQ)%XJQ;S.pop();}else ans=(ans+solve(1,i,0)*solve(i,n,1)%XJQ)%XJQ;}}while(!S.empty())S.pop();for(ll i=n;i>=1;i--){if(s[i]==')')S.push(i);else{if(!S.empty()){ans=(ans+solve(S.top(),n,1)*solve(i+1,S.top(),0)%XJQ)%XJQ;S.pop();}else ans=(ans+solve(1,i,0)*solve(i,n,1)%XJQ)%XJQ;}}printf("%lld",ans);
}

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