【分治】02：二分答案
二分答案
OVERVIEW
- 二分答案
- 1.OnlineJ390：原木切割（整数二分）
- 2.OnlineJ389：暴躁的程序员
- 3.OnlineJ393：切绳子（小数二分）
- 4.OnlineJ82：伐木
- 5.OnlineJ391：数列分段
- 5.OnlineJ394：跳石头
- 6.二分总结
1.OnlineJ390：原木切割（整数二分）
二分答案（用答案进行切分）应用满足条件：①具有左右边界、②数据具有单调性
某林业局现在 N 根原木，长度分别为 Xi ，为了便于运输，需要将他们切割成长度相等的 M 根小段原木（只能切割成整数长度，可以有剩余），小段原木的长度越大越好，现求小段原木的最大长度。
例如，有 3 根原木长度分别为 6,15,22，现在需要切成 8 段，那么最大长度为 5。
输入：
第一行两个整数 N, M 。（1 ≤ N ≤ 100,000，1 ≤ M ≤ 100,000,000）
接下来 N 行，每行一个数，表示原木的长度 Xi 。（1≤ Xi ≤100,000,000）
输出：
输出小段原木的最大长度， 保证可以切出 M 段。
（1）解题思路：
- 根据每一个二分答案长度
num[i]，，利用fun()函数进行计算，求出其对应的能切出木头的段数 - 根据当前分出的段数
s与题目给定需要切出的段数m进行比较，从而调整左右指针 - 当左右指针逼近到一定范围时，表示最佳答案已经找到
注意：判断二分的特殊类型为10类型
（2）代码实现：
/*思路：
1.输入数据，并动态更新二分答案的右边界
2.套用二分的特殊10类型相关模型进行处理
(1)根据临时长度mid与func()函数求出，原木能够切出的段数
(2)比较mid切出的段数与给定需要切出的段数进行比较，以此调整左右指针
(3)当左右指针逼近到一定范围，即找到最佳答案
3.输出bs()二分函数最后返回的结果
*/#include<iostream>
using namespace std;int n, m, num[100005], rawr;//求出当长度为mid时能切出的段数
int func(int x) {int t = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {t += num[i] / x;}return t;
}//二分求解最佳值
int bs() {int l = 1, r = rawr;while (l != r) {int mid = (l + r + 1) / 2;int s = func(mid); if (s >= m) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}return r;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> num[i];rawr = max(rawr, num[i]);}cout << bs() << endl;return 0;
}
注意：二分答案（整数二分）即用
func()函数现求函数值，替代二分查找中在数组中进行二分操作
2.OnlineJ389：暴躁的程序员
某公司的程序猿每天都很暴躁，因为他们每个人都认为其他程序猿和自己风格不同，无法一同工作。
当他们的工位的编号距离太近时，他们可能会发生语言甚至肢体冲突，为了尽量避免这种情况发生。现在公司打算重新安排工位，因为有些关系户的工位是固定的，现在只有一部分工位空了出来：
输入共 M+1行，第一行两个整数 M, N（2 ≤ N ≤ M ≤ 100,000）
- 根据每一个二分答案长度
num[i]，利用fun()函数进行计算，求出其对应的能够安排的程序员人数 - 根据当前能够分的人数
s与题目给定需要分配的人数m进行比较，从而调整左右指针 - 当左右指针逼近到一定范围时，表示最佳答案已经找到
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;int n, m, num[100005];int func(int x) {int t = 1, last = num[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {if (num[i] - last >= x) {++t;last = num[i];}}return t;
}int bs() {int l = 1, r = num[n - 1] - num[0];while (l != r) {int mid = (l + r + 1) / 2;int s = func(mid); //当假设最大距离为mid时求出的分配程序员数量sif (s >= m) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}return l;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> num[i];}sort(num, num + n);cout << bs() << endl;return 0;
}
3.OnlineJ393：切绳子（小数二分）
有 N 条绳子，它们的长度分别为 Li 。如果从它们中切割出 K 条长度相同的绳子，这 K 条绳子每条最长能有多长？
第一行两个整数 N 和 K，接下来 N 行，描述了每条绳子的长度 Li 。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;int n, m;
double num[10005], mmax;int func(double x) {int cnt = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {cnt += num[i] / x;}return cnt;
}double bs() {double l = 0, r = mmax;//当差值大于预设精度则一直求解while(fabs(l - r) > 0.00005) {double mid = (l + r) / 2;//根据mid值确定能够切出的绳子数量int s = func(mid);if (s >= m) {l = mid;} else {r = mid;}}return r;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> num[i];mmax = max(mmax, num[i]);}double ans = bs();//处理输出结果：直接舍掉2位后的小数double t1 = (int)(ans * 100) / 100.0;printf("%.2f\n", t1);//处理输出结果：直接舍掉2位后的小数printf("%.2f\n", ans - 0.005);return 0;
}
重点记录：①整数二分与小数二分的不同点、②保留两位小数直接舍去的两种方法
（3）对比总结：
4.OnlineJ82：伐木
这种设备能设定一个高度值（整数），并将所有树木大于此高度的部分锯下来。
现在林业局需要至少锯下长度为M米的木头，因为国家推行的环保政策，林业局不能锯下过多的木材。
需要将伐木设备的高度设定为多少才能使得获得的木材至少为 M 米？
换句话说，如果再将高度升高一米，将得不到 M 米的木材，如果将高度减少一米，将不能通过环保政策。
第一行两个整数 N 和 M，N 表示树木的数量，M 表示需要木材的长度。（1 ≤ N ≤ 1000000 , 1 ≤ M ≤ 2000000000）
第二行 N 个整数表示每棵树的高度（N ≤ 1000000000）。所有数据必有解。
- 根据设定伐木设备的设定长度
num[i]，利用fun()函数进行计算，能求出其能够获得的伐木量 - 根据当前能够获取的伐木量
s与题目给定真实需要的伐木量m进行比较，从而调整左右指针 - 当左右指针逼近到一定范围时，表示最佳答案已经找到
#include<iostream>
using namespace std;long long n, m, num[1000005], rawr;long long func(long long x) {long long t = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (num[i] > x) {t += num[i] - x;}}return t;
}long long bs() {long long l = 0, r = rawr;while (l != r) {long long mid = (l + r + 1) / 2;long long s = func(mid);if (s >= m) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}return l;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> num[i];rawr = max(rawr, num[i]);}cout << bs() << endl;return 0;
}
5.OnlineJ391：数列分段
对于给定的一个长度为 N 的正整数数列 Ai ，现要将其分成 M（M ≤ N）段，并要求每段连续、且每段和的最大值最小。
关于最大值最小：
例如一数列 4 2 4 5 1 要分成 3 段，
将其如下分段：[4 2] [4 5] [1]：第1段和为 6、第 2 段和为 9、第 3 段和为 1，和最大值为 9。
将其如下分段：[4] [2 4] [5 1]：第1段和为 4、第 2 段和为 6、第 3 段和为 6，和最大值为 6。
并且无论如何分段，最大值不会小于 6。
所以可以得到，要将数列 4 2 4 5 1 分成 3 段，每段和的最大值最小为 6。
输入：
第一行两个整数 N , M。（1 ≤ M ≤ N ≤ 100,000）
接下来 N 行，每行一个数，表示 Ai 。（1 ≤ Ai ≤ 100,000,000）
输出：
一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
（1）解题思路：
（2）代码实现：
#include<iostream>
using namespace std;long long n, m, num[100005], rawl, rawr;long long func(long long x) {long long t = 0, now = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (now + num[i] > x) {t++;now = num[i];} else if (now + num[i] == x) {t++;now = 0;} else {now += num[i];}}if (now != 0) {t++;}return t;
}long long bs() {long long l = rawl, r = rawr;while(l != r) {long long mid = (l + r) / 2;long long s = func(mid);if (s <= m) {r = mid;} else {l = mid + 1;}}return r;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> num[i];rawl = max(rawl, num[i]);rawr += num[i];}cout << bs() << endl;return 0;
}
5.OnlineJ394：跳石头
为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。
第一行包含三个整数 L, N , M ，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L ≥ 1 且 N ≥ M ≥ 0 。
接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di （0 < Di < L），表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。
#include<iostream>
using namespace std;int ll, n, m, num[50005], rawl = 1000000000;int func(int x) {int cnt = 0, last = 0;for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {if (num[i] - last < x) {cnt++;} else {last = num[i];}}return cnt;
}int bs() {int l = rawl, r = ll;while (l != r) {int mid = (l + r + 1) / 2;// 利用mid遍历数组求得需要移走多少块石头int s = func(mid);if (s <= m) {l = mid;} else {r = mid - 1;}}return l;
}int main() {cin >> ll >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> num[i];rawl = min(rawl, num[i] - num[i - 1]);}num[n + 1] = ll;rawl = min(rawl, num[n + 1] - num[n]);cout << bs() << endl;return 0;
}
思考：
题目给出条件，起点与终点的石头不可移除：但在程序中的循环缺涉及到了最后一块石头，且若最后一块石头不满足条件将会被移除
解答：如果需要移除终点，则移除终点前一块石头即可，体现成移除的数量加1（实际终点还是留下）
6.二分总结
二分答案（答案需要是单调的）就是用函数替代数组，二分的本质是删掉不存在答案的区间
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