解题报告：luoguP2868 Sightseeing Cows G（最优比率环，负环判定，二分答案）

根据题意，我们要环上各点权值之和除以各边权值之和最大。

求最大答案，很明显可以使用二分答案。那么我们假设当前答案为 x，如果有更大的答案，那么方程就可以按下图转换：

也就是说如果有更大的答案，则有一个环是负环（环边权总和为负数）。也就是说我们把求最大答案的问题转换为了判断当前建的图中是否存在负环。
我们可以将每一条边的边权设为

然后使用 spfaspfaspfa 判断是否有负环。
使用spfa判断是否有负环，我们只需要用一个cnt数组存储每一个点的从起点到该点的最短路径包含的边数，在每次更新dis[y]的时候,判断cnt[y]=cnt[x]+1)>ncnt[y] = cnt[x] + 1 ) > ncnt[y]=cnt[x]+1)>n，若大于n则存在负环。这是一种效率较高的判断负环的方法。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>using namespace std;const int N = 1e4+7;
const int M = 5e4+7;
const double eps = 1e-6;
int f[N];
int head[N],ver[M],nex[M],tot;
double edge[M];
int n,m;
int a[N];
double dis[N];
bool vis[N];//判断是否在队列里
int cnt[N];//表示的是从起点到x的最短路径包含的边数void add(int x,int y,double z){ver[++tot] = y;nex[tot] = head[x];edge[tot] = z;head[x] = tot;
}
//判断是否存在负环，cnt[i]大于n则有负环（一共n个点，如果没有负环就最多等于n）
bool spfa(){queue<int>q;//没有起点，每个人都是起点for(int i = 1;i <= n;++i){q.push(i);dis[i] = 0;vis[i] = 1;}memset(cnt,0,sizeof cnt);while(q.size()){int x = q.front();q.pop();vis[x] = 0;for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i];if(dis[y] > dis[x] + edge[i]){dis[y] = dis[x] + edge[i];if((cnt[y] = cnt[x] + 1 ) > n)return 1;if(!vis[y]){q.push(y);vis[y] = 1;}}}}return 0;
}
int x[N],y[N], z[N];bool check(double w){tot = 0;memset(head,0,sizeof head);for(int i = 1;i <= m;++i)add(x[i],y[i],w * z[i] - f[x[i]]);//减去出点权值return spfa();
}int main(){cin>>n>>m;for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%d",&f[i]);for(int i = 1;i <= m;++i)scanf("%d %d %d",&x[i],&y[i],&z[i]);double l = 0,r = 1000;while(r - l > eps){double mid = (l + r) / 2;if(check(mid))l = mid;else r = mid;}printf("%.2f",l);return 0;
}

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