高等数学：第二章导数与微分（2）初等函数高级导数隐函数参数函数

§2.4 初等函数的求导问题

基本初等函数的导数公式已经有了，而函数的四则运算法则、复合函数求导的锁链规则也推导出来了。因此，我们可以说：一切初等函数的求导问题业已完全解决了！剩下的就靠我们勤加练习，熟能生巧

下面，我们做一次课堂练习，并用mathematica来加以检验。

§2.5 高阶导数

我们知道，变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即或。

而加速度又是速度对时间的导数，即

或

这种导( 函 )数的导数或叫做对的二阶导数，记作

或。

一、高阶导数的定义

相应地，把的导数叫做函数的一阶导数。

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作

或。

函数具有阶导数，称函数为阶可导的；如果函数在点处具有阶导数，那未在点处的某一邻域内必具有一切低于阶的导数。

二、几个基本的高阶导数公式

【公式1】

证明：记

，， … ，

一般地

【特款】当时，

【公式2】

证明：记

一般地有

【特款】

证明：

利用上面得到的阶导数公式有

【公式3】

证明：

，一般地有：

【特款】当 ( 为正整数 ) 时，有

【公式4】 (为实数 )

证明： 记

一般地，有

这一公式的证明与中学的二项展开公式的证明完全类似，同学们可与之对应起来看。

证明：当时，(1)式显然成立。

假设当时，(1)式仍然成立，即：

于是有

三、求函数高阶导数举例

【例1】求函数的阶导数。

解：

当时，有

【例2】设，求。

解：利用莱布尼兹公式，有

§2.6 隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

1、显函数的概念

函数表示两个变量和之间的对应关系，其特点是：等号左端是因变量，而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数。

2、隐函数的概念

在二元方程中，当取区间内的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的值存在，那末称方程在区间内确定了一个隐函数。

例如，在内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。

例如，可将上述方程中的解出来，得，将隐函数化成了显函数。

一般来说，将隐函数显化是有一定困难的，有时甚至是不可能的。

例如，二元方程，对于区间内任意取定的值，上式成为一个以为未知数的五次方程，据代数理论，该方程至少有一个实根，故方程在内确定了一个隐函数，但这个函数却很难显化出来。

例如，在时，方程变为，可求得；

当时，方程变为，若记

计算得到

据零点定理，在(3，4)内有一零点，利用两分法可求得

。

既然二元方程可确定一个一元(隐)函数，隐函数导数又该如何求呢?

如果能将此隐函数显化，求导自然不成问题。如果隐函数不能显化，有没有直接地求导方法呢?

有的，下面用一个例子来介绍这一方法。

3、隐函数的直接求导法

左边的导数为

右边的导数为

这两个导数应相等，于是有

解出，得

【例2】求椭圆在点处的切线方程。

解：方程两边对求导数，注意到是的隐函数，有

，

将代入上式得：

切线方程为

【例3】求由方程所确定的隐函数的二阶导数。

【解法1】

上式两边再对求导，注意到仍是的函数，有

【解法2】对两边关于求导，注意到和仍是的函数，有

4、对数求导法

先对两边取对数，然后对方程两边关于求导，最后解出。

【例4】求的导数。

解：

两边对求导，注意到是的函数

【例5】求的导数。

解：

二、由参数方程所确定的函数的导数

我们知道，函数表示半径为1的上半圆周。若令，则，故

参数方程也表示此半圆周。

反过来说，此参数方程也确定了一个与之间的函数关系。

一般地，参数方程确定了与之间的函数关系，称此函数为由参数方程(1)所确定的函数。

如何求由参数方程(1)所确定的函数导数? 一个直接的方法是，从(1)中消去参数，将(1)化成与之间的函数关系，然后求其导数。但是，如果从(1)式中消去有困难，需要寻求一种直接由参数方程(1)求的方法。

对于参数方程

可以想象：由函数求出其反函数，将此反函数代入，得到了复合函数。

于是，可运用复合函数与反函数求导法，进行如下求导。

(2)

或

(2)式便是我们希望寻找的求导公式，当然，它的成立是需要一些条件：

【1】函数有单调连续反函数；

【2】函数、可导，且。

对(2)关于再求导，可得到二阶导数。只要求导时别忘了仍是的函数。

(3)

书上给出了这一公式，要准确而长久地记住它，并不容易。解题时，应少套这一公式，多摸仿这一公式的推导过程。

【例6】求参数方程的二阶导数。

解：

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}

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