蓝桥杯2021年第十二届省赛-杨辉三角形

蓝桥杯2021年第十二届省赛真题-杨辉三角形 - C语言网 (dotcpp.com)https://www.dotcpp.com/oj/problem2610.html

参考：

2021第十二届蓝桥杯省赛AB组C++组杨辉三角形_skgion的博客-CSDN博客

二分法的边界问题详细分析_Lin_RD的博客-CSDN博客_二分法如何确定边界

这道题思路：

1.杨辉三角形——>组合数——>组合数的解法；

2.找规律——>可以把杨辉三角形对半分，斜着看，从左往右数第x条斜着的上的数是mCx，m是从2*x开始的数（如下方举例）——>每条边都单调递增，找数字通过二分找；

例如：

从2开始的那条斜边：2-3-4-5-6-……即为2C1，3C1，4C1，5C1，6C1……

从6开始的那条斜边：6-10-15-21-……即为4C2，5C2，6C2，7C2……

从20开始的那条斜边:20-35-56……即为6C3，7C3，8C3……

解题时：

1.按计算器发现：30C15=155117520>1E9,28C14=4011660,所以可以从左数第14条边向第一条边找（srds 解题网站上从第8条边开始找也能过）

2.组合数的计算：用数学公式直接算

$\binom{n}{m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}=\frac{(n-m+1)(n-m+2)...n}{123...m}$

    long long ans=1;//直接算组合数，q是下面的，x是上面的，ans是结果for(int i=1,j=q-x+1;i<=x;i++,j++)ans=ans*j/i;

因为这样算组合数，ans是递增，所以当ans大于要找的数n时，直接返回ans（这个时候ans虽然不是组合数的答案，但也是比n大的）

(一开始用数组算组合数c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];，结果时间还没炸，空间先炸了orz）

3.二分法：

设x是要找的那条边的序号。L=2*x，因为所有的边开始的第一个数字都是(2*x)Cx，R=n，因为最坏的结果是nC1。二分要查找的区间是[l,r]闭区间（具体的可以看参考网址中的二分法），同时一条边上的数（除了第0条边）都是严格单调递增（每个数都不一样），所以mid找到了就可以输出了。

4.如何确定n是第几个数：设n=qCx，然后找规律：

6=4C2，在第13个数-->(1+2+3+4)+2+1

10=5C2，在第18个数-->(1+2+3+4+5)+2+1

7=7C1，在第30个数-->(1+2+3+4+5+6+7)+1+1

……

所以，n=qCx，数的位置：(1+2+3+……+q)+x+1=(q+1)*q/2+x+1;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
long long C(long long q,long long x)
{long long ans=1;for(int i=1,j=q-x+1;i<=x;i++,j++){ans=ans*j/i;if(ans>n)return ans;}return ans;
}
bool check(long long x)
{long long l=2*x,r=n,q;//mid要在l和r闭区间里面！while(l<=r){long long mid=l+(r-l)/2;q=C(mid,x);if(q>n){r=mid-1;}else if(q<n){l=mid+1;}else {cout<<(mid+1)*mid/2+x+1<<endl;//这里一定要/2,不然卡在45qwqreturn 1;}}return 0;
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cin>>n;for(int i=14;i>=0;i--){if(check(i))break;}return 0;
}

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