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基本规则

代换规则

代换规则（Replacement）：
任何含有变量X的逻辑等式，若将所有出现变量X的地方都用另一逻辑表达式Y代换，则等式仍然成立。使用代换规则时，要将等式两边所有出现被代替变量X的地方均代入同一表达式，否则等式不成立。

这是三个规则中最简单直白的一个，就不浪费时间和版面了

对偶规则

对偶规则（Dual）：
对任意逻辑函数 F = f ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) F=f(X_1,X_2,...,X_n) F=f(X1,X2,...,Xn)，只要对它的表达式中所有的逻辑常量 1 与 0 对换，逻辑符号 + 与 • 对换，并保持原函数变量之间的运算顺序不变，得到的新函数就是原函数 F F F的对偶函数 F ∗ F^* F∗。原函数所具有的一切性质，对偶函数同样具备。
若两个函数 F F F和 G G G相等，即 F = G F=G F=G，则它们的对偶函数也相等，即 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗

注意：

必须对所有的逻辑常量和逻辑符号进行变换，当然也只需要对逻辑常量和逻辑符号进行变换
必须保持原函数变量之间的运算顺序，必要时可使用运算顺序不变
对偶函数与原函数是一个完全不同的函数，只是形式上对偶

∞ex1 证明反演律推论 A ⋅ B ⋅ C ‾ = A ‾ + B ‾ + C ‾ \overline{A \cdot B \cdot C}=\overline A+\overline B+\overline C A⋅B⋅C=A+B+C

根据反演率推论有
A + B + C ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ \overline{A + B + C}=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C A+B+C=A⋅B⋅C
函数 F = A + B + C ‾ F=\overline{A + B + C} F=A+B+C的对偶函数
F ∗ = A ⋅ B ⋅ C ‾ F^*=\overline{A \cdot B \cdot C} F∗=A⋅B⋅C
函数 G = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ G=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C G=A⋅B⋅C的对偶函数
G ∗ = A ‾ + B ‾ + C ‾ G^*=\overline A + \overline B + \overline C G∗=A+B+C
根据对偶规则得到新等式 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗，则
A + B + C ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ ⋅ C ‾ \overline{A + B + C}=\overline A \cdot \overline B \cdot \overline C A+B+C=A⋅B⋅C

∞ex2 求函数 F = A B + C ‾ D F=AB+\overline CD F=AB+CD的对偶函数

注意原式的运算顺序
F ∗ = ( A + B ) ( C ‾ + D ) F^*=(A+B)(\overline C +D) F∗=(A+B)(C+D)

∞ex3 证明吸收律推论 A ⋅ ( A + B + C ) = A A \cdot (A+B+C)=A A⋅(A+B+C)=A

根据吸收律推论有：
A + A B C = A A+ABC=A A+ABC=A
函数 F = A + A B C F=A+ABC F=A+ABC的对偶函数为
F ∗ = A ( A + B + C ) F^*=A(A+B+C) F∗=A(A+B+C)
函数 G = A G=A G=A的对偶函数为
G ∗ = A G^*=A G∗=A
根据对偶规则得到新等式 F ∗ = G ∗ F^*=G^* F∗=G∗，则
A ( A + B + C ) = A A(A+B+C)=A A(A+B+C)=A

反演规则

反演规则（Invert）：
对任何逻辑函数 F = f ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) F=f(X_1,X_2,...,X_n) F=f(X1,X2,...,Xn)，只要将表达式中所有的逻辑常量 0 与 1 对换，逻辑符号 + 与 • 对换，逻辑变量 X i X_i Xi与 X i ‾ \overline {X_i} Xi之间互换，并保持原函数变量之间的运算顺序不变，得到的新逻辑表达式是就是原函数 F F F的反函数 F ‾ \overline F F。

必须对所有的逻辑常量，逻辑符号和逻辑变量进行变换
必须保持原函数变量之间的运算顺序，必要时可添加括号以保证运算顺序不变
注意区分非运算和反变量。在反演时， X X X与 X i ‾ \overline {X_i} Xi之间的互换只对逻辑变量与反变量有效 （对单个变量，而不是两部分的取反运算），而非运算保留
反函数不是一个新的函数，是原函数的反

∞ex3 求函数 F = A ⋅ B ‾ + C ‾ ( D + A ) F=\overline {A \cdot B}+\overline C(D+A) F=A⋅B+C(D+A)的反

A ⋅ B ‾ \overline {A \cdot B} A⋅B是非运算， C ‾ \overline C C是反变量
在反演时，非运算保留，而变量取反
F ‾ = ( A ‾ + B ‾ ‾ ) ⋅ ( C + D ‾ ⋅ A ‾ ) \overline F=(\overline{\overline A +\overline B}) \cdot (C+\overline D \cdot \overline A) F=(A+B)⋅(C+D⋅A)

我们要注意区分对偶函数和反函数：

两者的演化规则不一样，反演规则中逻辑变量需要原变量与反变量的互换，而对偶规则不需要
函数的逻辑意义不一样，反演规则中，反函数 F ‾ \overline F F是原函数 F F F的补，符合互补律 F + F ‾ = 1 F+\overline F=1 F+F=1；而对偶规则中，原函数 F F F和对偶函数 F ∗ F^* F∗是两个相互独立的函数，只是形式上对偶

常用公式

并项法

A B + A B ‾ = A AB+A \overline B=A AB+AB=A
证明： A B + A B ‾ = A ( B + B ‾ ) = A ⋅ 1 = A AB+A \overline B=A(B+ \overline B)=A \cdot 1=A AB+AB=A(B+B)=A⋅1=A

逻辑函数中，逻辑表达式中的两个与项，只有一部分互补，剩余部分完全相同，则称这两个与项是 " 相邻 " 的。相邻两项可以合并成一项，消掉互补的因子。

推论（对偶规则）：
( A + B ) ⋅ ( A + B ‾ ) = A (A+B) \cdot (A+ \overline B)=A (A+B)⋅(A+B)=A

消冗余因子公式

A + A ‾ B = A + B A+\overline AB=A+B A+AB=A+B
证明： A + A ‾ B = ( A + A ‾ ) ⋅ ( A + B ) A+\overline AB=(A+\overline A) \cdot (A+B) A+AB=(A+A)⋅(A+B)
= A A + A B + A ‾ A + A ‾ B = A + A B + 0 + A ‾ B =AA+AB+\overline AA+\overline AB=A+AB+0+\overline AB =AA+AB+AA+AB=A+AB+0+AB
= A ( 1 + B ) + A ‾ B = A + A ‾ B =A(1+B)+\overline AB=A+\overline AB =A(1+B)+AB=A+AB
= 1 ⋅ ( A + B ) = A + B =1 \cdot(A+B)=A+B =1⋅(A+B)=A+B

在逻辑表达式中，如果与项的一个因子恰好与两一个与项互补，则该因子是冗余的，可以消去。

推论（对偶规则）：
A ⋅ ( A ‾ + B ) = A ⋅ B A \cdot (\overline A+B)=A \cdot B A⋅(A+B)=A⋅B
证明： A ⋅ ( A ‾ + B ) = A ⋅ A ‾ + A ⋅ B = 0 + A ⋅ B = A ⋅ B A \cdot (\overline A+B)=A \cdot \overline A+A \cdot B=0+A \cdot B=A \cdot B A⋅(A+B)=A⋅A+A⋅B=0+A⋅B=A⋅B

消冗余项公式

A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC AB+AC+BC=AB+AC
证明： A B + A ‾ C + B C = A B + A ‾ C + ( A + A ‾ ) B C AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC+(A+\overline A)BC AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
= A B + A ‾ C + A B C + A ‾ B C = A B ( 1 + C ) + A ‾ C ( 1 + B ) = A B + A ‾ C =AB+\overline AC+ABC+\overline ABC=AB(1+C)+\overline AC(1+B)=AB+\overline AC =AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC

在逻辑表达式中，如果两个与项有一个因子互补，而第三个与项恰好是这两个与项中剩余不互补的全体因子的乘积，则第三项是冗余的，可以消去。

推论：
A B + A ‾ C + B C D = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BCD=AB+ \overline AC AB+AC+BCD=AB+AC
推论（对偶规则）：
( A + B ) ( A ‾ + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A ‾ + C ) (A+B)(\overline A+C)(B+C)=(A+B)(\overline A+C) (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)

Tip

考虑合并同类项，实现第一步化简

找到所有的互补项，分别标记出来

观察与互补项搭配的部分：
单个搭配： A + A ‾ B = A + B A+\overline AB=A+B A+AB=A+B 消冗余因子公式

搭配相同因子： A B + A ‾ B = B AB+\overline AB=B AB+AB=B 并项公式

搭配不同因子，且还有因子与项： A B + A ‾ C + B C D = A B + A ‾ C AB+\overline AC+BCD=AB+ \overline AC AB+AC+BCD=AB+AC 消冗余项公式

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