bicubic的解释

bicubic interpolation解释

1. cubic的推倒：
  如果一个函数f(x)f(x)在x=0和x=1的位置上的函数值已知，那么这个函数在闭区间[0,1]上的值是可以被插入的，利用一个读度数为3的多项式去描述这条曲线，那么：
  
  设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(1)
  
  设 \ f(x) = ax^3+bx^2+c^x+d \tag{1}
  对这个函数求导，得
  
  f′(x)=3ax2+2bx+c(2)
  
  f'(x) = 3ax^2+2bx+ c \tag{2}
  那么
  
  f(0)=df(1)=a+b+c+df′(0)=cf′(1)=3a+2b+c(3)
  
  \begin{aligned} &f(0) = d \\ &f(1) = a+b+c+d \\ &f'(0) = c \\ &f'(1) = 3a + 2b + c \end{aligned}\tag3
  
  ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a=2f(0)−2f(1)+f′(0)+f′(1)b=−3f(0)+3f(1)−2f′(0)−f′(1)c=f′(0)d=−f(0)(4)
  
  \Rightarrow\left\{\begin{aligned} & a = 2f(0)-2f(1)+f'(0)+f'(1) \\ & b = -3f(0)+3f(1)-2f'(0)-f'(1)\\ & c = f'(0) \\ & d = -f(0) \\ \end{aligned} \right. \tag4
  得到了系数，我们就可以可以得到这个f(x)的表示方法
2.当我们在处理一列数的时候，我们在不知道导数的情况下，
- 为了得到平滑的曲线，我们采用如下的方法进行近似或者说逼近，我们通过当前点相邻的间隔的两点连线，用这条直线的斜率来近似替代这个位置导数
- 假设我们有四个值，分别p0,p1,p2,p3p_0,p_1,p_2,p_3代表x=-1,x=0,x=1和x=2位置的函数值，那么：

f(0)=p1f(1)=p2f′(0)=p2−p02f′(1)=p3−p12(5)

\begin{aligned} &f(0) = p_1\\ &f(1) = p_2\\ &f'(0) = \frac{p_2-p_0}{2} \\ &f'(1) = \frac{p_3-p_1}{2} \\ \end{aligned} \tag5
采取和第一种情况类似的将值带入计算的方法，得到如下式子

⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a=−12p0+32p1−32p2+12p3b=p0−52p1+2p2−12p3c=−12p0+12p2d=p1(4)

\Rightarrow\left\{\begin{aligned} & a = -\frac{1}{2}p_0 + \frac{3}{2}p_1 - \frac{3}{2}p_2 + \frac{1}{2}p_3 \\ & b = p_0 - \frac{5}{2}p_1 + 2p_2 - \frac{1}{2}p_3\\ & c = -\frac{1}{2}p_0 + \frac{1}{2}p_2\\ & d = p_1 \\ \end{aligned} \right. \tag4
知道了系数反推回式子里带入即可。

3.bicubic就是cubic在二维上的推广
- 我们相等于从插值到线转变到插值到一个二维的矩阵当中，我们可以利用cubic的公式去构造bicubic的公式。
- 假设我们有16个点,i,j分别表示行位置和列位置，我们可以将行方向和列方向分解，比如先在行方向做（和二元的积分有相通之处）
- 那么设
  g(x)=∑03∑03aijxiyj(5)
  
  g(x) = \sum_0^3\sum_0^3a_{ij}x^iy^j \tag5
  同样将16值带入能够推导出如下结果
  
  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a00=p11a01=−12p10+12p12a02=p10−52p11+2p12−12p13a03=−12p10+32p11−32p12+12p13a10=−12p00−14p21a11=14p00−14p02−14p20+14p22a12=−12p00+54p01−p02+14p03+12p20−54p21+p22−14p23a13=14p00−34p01+34p02−14p03−14p20+34p21−34p22+14p23a20=p01−52p01+2p21−12p31a21=−12p00+12p02+54p10−54p12−p20+p22+14p30−14p32a22=p00−52p02+2p02−12p03−52p10 +254p11−5p12+154p12−54p13−p20+3p21 −3p22+p23+14p30−34p31+34p32−14p33a23=12p00+32p01−32p02+12p03+54p10 −154p11+154p12−54p13−p20 +3p21−3p22+p23+14p30−34p31+34p32−14p33a30=−12p0132p11−32p21+12p31a31=14p00−14p02−34p10+34p12+34p20−34p22−14p30+14p32a32=−12p00+54p01−p02+14p30+32p10 −154p11+3p12−34p13−32p20+154p20 +154p21−3p22+34p23+12p30−54p31+p32−14p33a33=14p00−34p01+34p02−14p03−34p10+94p11 −94p12+34p13+34p20−94p21−94p22 −34p23−14p30+34p31−34p31−34p32+14p33(6)
  
  \left\{\begin{aligned} & a_{00} = p_{11} \\ & a_{01} = -\frac{1}{2}p_{10} + \frac{1}{2}p_{12}\\ & a_{02} = p_{10} - \frac{5}{2}p_{11}+2p_{12} - \frac{1}{2}p_{13}\\ & a_{03} = -\frac{1}{2}p_{10} + \frac{3}{2}p_{11} - \frac{3}{2}p_{12}+\frac{1}{2}p_{13} \\ & a_{10} = -\frac{1}{2}p_{00} - \frac{1}{4}p_{21} \\ & a_{11} = \frac{1}{4}p_{00} - \frac{1}{4}p_{02} - \frac{1}{4}p_{20}+\frac{1}{4}p_{22} \\ & a_{12} = -\frac{1}{2}p_{00} + \frac{5}{4}p_{01} - p_{02} + \frac{1}{4}p_{03} + \frac{1}{2}p_{20} - \frac{5}{4}p_{21}+p_{22} - \frac{1}{4}p_{23} \\ &a_{13} = \frac{1}{4}p_{00} - \frac{3}{4}p_{01}+\frac{3}{4}p_{02}-\frac{1}{4}p_{03}-\frac{1}{4}p_{20}+\frac{3}{4}p_{21} - \frac{3}{4}p_{22}+ \frac{1}{4}p_{23}\\ & a_{20} = p_{01}-\frac{5}{2}p_{01}+2p_{21} -\frac{1}{2}p_{31}\\ &a_{21} = -\frac{1}{2}p_{00} + \frac{1}{2}p_{02}+\frac{5}{4}p_{10}-\frac{5}{4}p_{12}-p_{20}+p_{22}+\frac{1}{4}p_{30} - \frac{1}{4}p_{32}\\ &a_{22} = p_{00} -\frac{5}{2}p_{02}+2p_{02}-\frac{1}{2}p_{03}-\frac{5}{2}p_{10}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{25}{4}p_{11}-5p_{12}+\frac{15}{4}p_{12}-\frac{5}{4}p_{13}-p_{20}+3p_{21}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ -3p_{22}+p_{23}+\frac{1}{4}p_{30}-\frac{3}{4}p_{31}+\frac{3}{4}p_{32}-\frac{1}{4}p_{33}\\ &a_{23}=\frac{1}{2}p_{00} + \frac{3}{2}p_{01} -\frac{3}{2}p_{02}+\frac{1}{2}p_{03}+\frac{5}{4}p_{10}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\frac{15}{4}p_{11}+\frac{15}{4}p_{12}-\frac{5}{4}p_{13}-p_{20}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +3p_{21}-3p_{22}+p_{23}+\frac{1}{4}p_{30}-\frac{3}{4}p_{31}+\frac{3}{4}p_{32}-\frac{1}{4}p_{33}\\ &a_{30} = -\frac{1}{2}p_{01}\frac{3}{2}p_{11}-\frac{3}{2}p_{21}+\frac{1}{2}p_{31}\\ &a_{31} = \frac{1}{4}p_{00} -\frac{1}{4}p_{02}-\frac{3}{4}p_{10}+\frac{3}{4}p_{12}+\frac{3}{4}p_{20}-\frac{3}{4}p_{22}-\frac{1}{4}p_{30} + \frac{1}{4}p_{32}\\ &a_{32} = -\frac{1}{2}p_{00} + \frac{5}{4}p_{01}-p_{02}+\frac{1}{4}p_{30}+\frac{3}{2}p_{10}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\frac{15}{4}p_{11}+3p_{12}-\frac{3}{4}p_{13}-\frac{3}{2}p_{20}+\frac{15}{4}p_{20}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{15}{4}p_{21}-3p_{22}+\frac{3}{4}p_{23}+\frac{1}{2}p_{30}-\frac{5}{4}p_{31}+p_{32}-\frac{1}{4}p_{33}\\ &a_{33} = \frac{1}{4}p_{00} -\frac{3}{4}p_{01}+\frac{3}{4}p_{02}-\frac{1}{4}p_{03}-\frac{3}{4}p_{10}+\frac{9}{4}p_{11}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\frac{9}{4}p_{12}+\frac{3}{4}p_{13}+\frac{3}{4}p_{20}-\frac{9}{4}p_{21}-\frac{9}{4}p_{22}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\frac{3}{4}p_{23}-\frac{1}{4}p_{30}+\frac{3}{4}p_{31}-\frac{3}{4}p_{31}-\frac{3}{4}p_{32}+\frac{1}{4}p_{33} \end{aligned} \right. \tag6

那么将系数带回原式就得到了bicubic的公式。

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