数字图像处理--图像旋转变换的推导

前面我们提到了图像的缩放变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

那么，对于旋转变换呢？我们可以同样将其想象成二维平面上矢量的旋转。如下图所示，矢量[x1,y1][x_1,y_1][x1,y1]逆时针旋转θθθ度到了[x2,y2][x_2,y_2][x2,y2]。

设定矢量的长度为s，根据坐标系定义，我们可以得到：
x2=s•cos⁡βy2=s•sin⁡β\begin{aligned} x2=s• cos⁡β\\ y2=s• sin⁡β \end{aligned} x2=s•cos⁡βy2=s•sin⁡β

根据上面的图形，有：
β=α+θβ=α+θ β=α+θ

因此:
x2=s•cos⁡(α+θ)y2=s•sin⁡(α+θ)x2=s• cos⁡(α+θ) \\ y2=s• sin⁡(α+θ) x2=s•cos⁡(α+θ)y2=s•sin⁡(α+θ)

根据初中所学的三角函数公式：
sin⁡(α+θ)=sinα•cosθ+cosα•sinθcos⁡(α+θ)=cosα•cosθ−sinα•sinθsin⁡(α+θ)=sinα•cosθ+cosα•sinθ \\ cos⁡(α+θ)=cosα•cosθ-sinα•sinθ sin⁡(α+θ)=sinα•cosθ+cosα•sinθcos⁡(α+θ)=cosα•cosθ−sinα•sinθ

于是：
x2=s•cosα•cosθ−s•sinα•sinθy2=s•sinα•cosθ+s•cosα•sinθx2=s•cosα•cosθ-s•sinα•sinθ\\ y2=s•sinα•cosθ+s•cosα•sinθ x2=s•cosα•cosθ−s•sinα•sinθy2=s•sinα•cosθ+s•cosα•sinθ

由于：
x1=s•cos⁡αy1=s•sin⁡αx1=s• cos⁡α\\ y1=s• sin⁡α x1=s•cos⁡αy1=s•sin⁡α

因此：
x2=x1•cosθ−y1•sinθy2=x1•sinθ+y1•cosθx2=x1•cosθ-y1•sinθ\\ y2=x1•sinθ+y1•cosθ x2=x1•cosθ−y1•sinθy2=x1•sinθ+y1•cosθ

于是，上式写成矩阵乘法的形式如下：
[x2y2]=[cosθ−sinθsinθcosθ][x1y1]\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} cosθ& -sinθ\\ sinθ & cosθ\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned} [x2y2]=[cosθsinθ−sinθcosθ][x1y1]

我们来看看一个图像逆时针旋转180度的情况。

import cv2import numpy as np
import mathlenna = cv2.imread("lenna256.png", 0)
row, col = lenna.shapelenna_rotation = np.zeros_like(lenna)A = np.mat([[math.cos(math.pi), -math.sin(math.pi)], [math.sin(math.pi), math.cos(math.pi)]])for r in range(row):for l in range(col):v = np.dot(A.I, np.array([r, l]).T)lenna_rotation[r, l] = lenna[int(v[0, 0]), int(v[0, 1])]cv2.imshow("lenna", lenna)
cv2.imshow("rotation", lenna_rotation)
cv2.waitKey()

上面的图像宽度和高度是一样的，而且旋转角度是180度，比较特殊。在一般情况下，我们需要注意的是2点：一是旋转图像一般要将旋转中心设置在图像的中心点位置；二是图像旋转后，可能越过了原来的图像边界范围。这些都比较麻烦，好在opencv已经做好了这一切。

lenna = cv2.imread("lenna256.png", 0)
row, col = lenna.shape
M = cv2.getRotationMatrix2D((col // 2, row // 2), 70, 0.5)
dst = cv2.warpAffine(lenna, M, (col, row))
cv2.imshow("rotation", dst)
cv2.waitKey()

转载自：https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/79680189

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