数列求和再求极限问题

2024-05-14 22:31:57

原题：1800入门篇P5 —17,18题

步骤：

1.夹逼定理:

略

2.定积分定义：

(1).写成求和形式
(2).因式分解——找分子(1n\frac{1}{n}n1和in\frac{i}{n}ni)
(3).当求和符号后的东西仅有1n\frac{1}{n}n1和in\frac{i}{n}ni组成的时候，结束。
(4).转化
a)极限符号+求和符号——积分符号
b)1n\frac{1}{n}n1——dxdxdx
c)其余的——f(x)f(x)f(x)（其中f(x)f(x)f(x)中的变量为in\frac{i}{n}ni）

例题：

1.lim⁡x→∞(nn2+1+nn2+2+⋯+nn2+n)\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n})x→∞lim(n2+1n+n2+2n+⋯+n2+nn)
首先写成求和符号∑i=1nnn2+i\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}i=1∑nn2+in
由于变化的i和不变的n的阶数不一样，所以用夹逼定理。

解：略

2.lim⁡x→∞(nn2+12+nn2+22+⋯+nn2+n2)\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2})x→∞lim(n2+12n+n2+22n+⋯+n2+n2n)
首先写成求和符号∑i=1nnn2+i2\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}i=1∑nn2+i2n
由于变化的i和不变的n的阶数相同，所以用定积分定义法。

解：
原式=lim⁡x→∞∑i=1nnn2+i2=lim⁡x→∞∑i=1nnn2[1+(in)2]=lim⁡x→∞∑i=1n1n[1+(in)2](结束)=∫0111+x2dx=π4\begin{aligned} 原式&=\lim\limits_{x\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}\\ &=\lim\limits_{x\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2[1+(\frac{i}{n})^2]}\\ &=\lim\limits_{x\to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{n[1+(\frac{i}{n})^2]}(结束)\\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx\\ &=\frac{\pi}{4}\\ \end{aligned}原式=x→∞limi=1∑nn2+i2n=x→∞limi=1∑nn2[1+(ni)2]n=x→∞limi=1∑nn[1+(ni)2]1(结束)=∫011+x21dx=4π

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