通信第三章常见函数的傅里叶变换

1.傅里叶级数定义及适用条件

2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱

3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质

4.周期信号的傅里叶变换

5.抽样定理

6.功率频谱与能量频谱

7.系统频域分析法

8.希尔伯特变换

第3章 傅里叶变换

重点：

傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。

3.1 傅里叶变换的产生

傅里叶的两个最主要的贡献：

(1)“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;

(2)“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.

三角函数

就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：

3.2 周期信号的傅里叶分析

1. 归一化：

2. 归一正交化：

3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号

周期的终点

设三角函数的完备函数集为：

其中

三角函数集也可表示为：

3.2.1 傅里叶级数的三角形式

基频

周期

周期的起点

满足：

(1)正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有

称为傅里叶级数

傅里叶级数的三角展开式

直流分量

n=1

n>1

基波分量

n次谐波分量

！

并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！

1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导

3.2.2 傅里叶级数的复指数形式

式中

例

已知冲激序列

解

求下图中三角波的三角傅里叶级数。

将

例

解

故

(2)利用直接法求解

故

常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。

用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：

(1)intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的(不带积分常数)不定积分；

(2)intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。

3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现

3.3 周期信号的对称性

1．纵轴对称性

(1)如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量(即偶函数之和仍然是偶函数)。

(2)如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量(即奇函数之和仍然是奇函数)。

定义：

奇谐函数

偶谐函数

2．横轴对称性

(2)偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。

(1)奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。

如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。

！

利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。

已知奇谐函数：

例

解

3.4 常见周期信号的频谱

3.4.1 频谱的概念

频谱图

振幅频谱

(幅频特性图)

表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位 (单位常用度或弧度)。

相位频谱

(相频特性图)

例

，求频谱

解

(1)单边频谱：

(2)双边频谱：

包络线

频谱图随参数的变化规律：

1)周期T不变，脉冲宽度变化

情况1：

第一个过零点n=8

情况2：

第一个过零点为n =16。

情况3：

 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽， 确定了带宽。

 由大变小，频谱的幅度变小。

由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。

结 论

 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即

带宽不变。

T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。

T   时，谱线间隔  0 ，这时：

周期信号  非周期信号；离散频谱  连续频谱

结 论

典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：

1. 周期矩形脉冲信号

2. 周期对称方波信号

3. 周期锯齿脉冲信号

4. 周期三角脉冲信号

5. 周期半波余弦信号

6. 周期全波余弦信号

3.4.2 常见周期信号的频谱

1. 周期矩形脉冲信号

(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解

设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1

(2)周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱

复数频

实数频谱

幅度谱与相位谱合并

周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个