相速度（phase velocity）和群速度（group velocity）

形如u(x,t)=exp⁡(ik[x−ω(k)kt])u(x, t)=\exp \left(i k\left[x-\frac{\omega(k)}{k} t\right]\right)u(x,t)=exp(ik[x−kω(k)t])定义波速为相位传播速度，即x−w(k)kt=cx-\frac{w(k)}{k} t=cx−kw(k)t=c,其中c为定值，相速度vp=dxdt=w(k)kv_p=\frac{dx}{dt}=\frac{w(k)}{k}vp=dtdx=kw(k)。

群速度vg=dw(k)dkv_g=\frac{dw(k)}{dk}vg=dkdw(k)，物理意义为波包（集中于w0w_0w0附近的复色波）传播速度。

对于单色波w=w0w=w_0w=w0,相速度与群速度相等vp=vgv_p=v_gvp=vg。

群速度推导

考虑集中于w0w_0w0附近的复色波，将其做傅里叶变换，将角频率在w0w_0w0附近做泰勒展开，代入傅里叶变换。

u(x,t)u(x, t)u(x,t)会分解为(振幅随时间振动项eiϕe^{i\phi}eiϕ)×\times×(以波速为w′(k0)w'(k_0)w′(k0)的行波eik(x−ω′(k0)t)e^{i k\left(x-\omega^{\prime}\left(k_{0}\right) t\right)}eik(x−ω′(k0)t))，可看成w′(k0)w'(k_0)w′(k0)速度传播的波包

考虑中心角频率w=w0w=w_0w=w0,带宽为[w0−δw,w0+δww_0-\delta w,w_0+\delta ww0−δw,w0+δw]的一列波，且δw\delta wδw十分小，此时www可以在w0w_0w0处做泰勒展开，w=w0+dwdk(k−k0)w=w_0+\frac{dw}{dk}(k-k_0)w=w0+dkdw(k−k0)。

对该波做傅里叶展开，
u(x,t)=∫−∞∞u^(k)eikx−iω(k)tdku(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(k) e^{i k x-i \omega(k) t} d k u(x,t)=∫−∞∞u^(k)eikx−iω(k)tdk将角频率www的泰勒展开代入上式得到，
u(x,t)≈eit[ω′(k0)k0−ω(k0)]∫−∞∞u^(k)eik(x−ω′(k0)t)dku(x, t) \approx e^{i t\left[\omega^{\prime}\left(k_{0}\right) k_{0}-\omega\left(k_{0}\right)\right]} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(k) e^{i k\left(x-\omega^{\prime}\left(k_{0}\right) t\right)} d k u(x,t)≈eit[ω′(k0)k0−ω(k0)]∫−∞∞u^(k)eik(x−ω′(k0)t)dk这个推导可以看作拍（beats）的推广。

傅里叶变换与波动方程的色散关系

u(x)=∫−∞∞u^(k)eikxdku(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat u(k) e^{i k x} d ku(x)=∫−∞∞u^(k)eikxdk可以看成u(x)u(x)u(x)在频率空间的展开，此时u(x)u(x)u(x)变成了所有平面波eikxe^{i k x}eikx 的加权求和。其中u^(k)\hat u(k)u^(k)为权重，是u(x)u(x)u(x)在频率空间分布函数。反之亦然。

将存在相位的函数u(x)u(x)u(x)做傅里叶变换后，u^(x)\hat u(x)u^(x)会变成复变函数，虚部与相位有关。（？）

对于波动方程utt=R(uxx)u_{tt}=R(u_{xx})utt=R(uxx)，通常直接将方程做傅里叶变换，得到色散关系w=w(k)w=w(k)w=w(k)。对于一般方程我们不会去求解u^(x)\hat u(x)u^(x)，因为该函数是由波动方程的边界条件得到的。对一般方程我们更关心其本征特点，即色散关系w=w(k)w=w(k)w=w(k)，该关系表征了不同频率的波将如何传播。

介电常数（permitivity）与电导（electric conductivity）

原电场会让电介质产生极化进而消弱原电场，因此定义相对介电常数εr\varepsilon_rεr来表征极化后总电场与激发电场的关系。
ε≡εrε0=(1+χ)ε0\varepsilon\equiv\varepsilon_{\mathrm{r}} \varepsilon_{0}=(1+\chi) \varepsilon_{0} ε≡εrε0=(1+χ)ε0由于极化场P\mathbf{P}P与电子位移x\mathbf{x}x正相关，因此可以认为介电常数εr\varepsilon_rεr与电子位移x\mathbf{x}x线性相关。

电导率σ\sigmaσ定义为电流密度j\mathbf{j}j与电场强度E\mathbf{E}E的比值，
σ≡jE\sigma \equiv \frac{\mathbf{j}}{\mathbf{E}} σ≡Ej通过牛顿第二定律与电场强度定义可知，电场强度EEE正比于粒子加速度，但由于粒子间存在散射作用，无法在电场EEE作用下做匀加速直线运动。通过实验发现，在粒子散射与电场共同作用下，存在一个稳定的平均漂移速度v\mathbf{v}v，因此此时电场强度EEE正比于粒子速度vvv，这是一条经验定律。

由于电流密度j=nqv\mathbf{j}=nq\mathbf{v}j=nqv，与电荷运动速度正相关，可以认为电导率σ\sigmaσ与电荷运动速度v\mathbf{v}v线性相关。

介电函数与电导率的关系

在解波动方程中代入平面波解，因此电子位移与电子速度有如下关系，
v=x˙=−iwx\mathbf{v}=\dot x=-iwx v=x˙=−iwx又因为介电函数与电子位移、电导率与电子速度的关系，不难得到介电函数与电导率的关系，
ε(K,ω)=1+iσ(K,ω)ε0ω\varepsilon(\mathbf{K}, \omega)=1+\frac{i \sigma(\mathbf{K}, \omega)}{\varepsilon_{0} \omega} ε(K,ω)=1+ε0ωiσ(K,ω)该等式的本质就是电子位移与电子速度的关系。

介电函数与折射率

物质的折射率nnn定义为：
n≡cvn \equiv \frac{c}{v} n≡vc而通过介质中的电磁波波动方程，我们可以得到（不考虑磁化时），
n=εrμr≈εrn=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt\varepsilon_r n=εrμr≈εr即物质的相对介电函数决定了物质的折射率。微观解释：由于电磁波引起物体中原子分子极化（εr\varepsilon _rεr），极化随外场振荡辐射出极化电磁波，该电磁波与入射电磁波相叠加，产生该物质中折射的电磁波。由于入射电磁波与极化电磁波叠加，导致了总电磁波相速度相对于真空中电磁波发生变化（nnn）。因此可称物质相对介电函数决定了其折射率。

利用最短时间原理与物质的相速度，利用几何关系就可以推导出斯涅尔定律，
n1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2n_{1} \sin \theta_{1}=n_{2} \sin \theta_{2} n1sinθ1=n2sinθ2光路折射的本质是因界面两侧光相速度不同，光遵从最短时间原理，选择了符合斯涅尔定律的折射路线。

散度定理（divergence theorem）

∭V(∇⋅F)dV=∯S(F⋅n)dS\iiint_{V}(\nabla \cdot \mathbf{F}) d V=\oiint_{S}(\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) d S ∭V(∇⋅F)dV=∬S(F⋅n)dS散度定理源自散度的定义：
div⁡F∣p=lim⁡V→{p}∬S(V)F⋅n^∣V∣dS\operatorname{div}\left.\mathbf{F}\right|_{p}=\lim _{V \rightarrow\{p\}} \iint_{S(V)} \frac{\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}}}{|V|} d S divF∣p=V→{p}lim∬S(V)∣V∣F⋅n^dS

电子迁移率

电子迁移率定义为：
μ≡vE\mu \equiv \frac{v}{E} μ≡Ev其中vvv为电子漂移速度，EEE为电场强度。

与电导率σ\sigmaσ的定义相同，电子迁移率μ\muμ同样也是考虑了电子散射作用的经验公式。

电子迁移率与电子有效质量、散射强度有关：

在一般固体中，电子等效质量与能带结构直接相关，电子等效质量越大，电子迁移率越小；电子散射强度与电子载流子浓度有关，当电子载流子浓度足够高时，电子会在缺陷处产生屏蔽效应（screening effect），导致电子散射减弱，电子迁移率提升。

在石墨烯中，由于线性色散关系，电子在狄拉克点附件等效静质量为零，但依然存在动质量。石墨烯电子迁移率可看为常数。（？）

电磁波波动方程

对maxwell方程组进行变形可得，
∇×∇×E=−μ0∂2D∂t2K(K⋅E)−K2E=−ε(K,ω)ω2c2E\begin{array}{c}{\nabla \times \nabla \times \mathbf{E}=-\mu_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{D}}{\partial t^{2}}} \\ {\mathbf{K}(\mathbf{K} \cdot \mathbf{E})-K^{2} \mathbf{E}=-\varepsilon(\mathbf{K}, \omega) \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \mathbf{E}}\end{array} ∇×∇×E=−μ0∂t2∂2DK(K⋅E)−K2E=−ε(K,ω)c2ω2E当电磁波为纵波时，等式左侧为0，因此：
ε(K,ω)=0.\varepsilon(\mathbf{K}, \omega)=0. ε(K,ω)=0.当电磁波为横波时，等式左侧第一项为零，因此色散关系为：
K2=ε(K,ω)ω2c2.K^{2}=\varepsilon(\mathbf{K}, \omega) \frac{\omega^{2}}{c^{2}}. K2=ε(K,ω)c2ω2.

自由电子气的介电函数（The dielectric function of the free electron gass）

考虑Drude模型，

忽略电子-电子相互作用（独立电子近似);
忽略电子-离子实相互作用（自由电子近似）;
将电子-电子间碰撞用电子弛豫时间τ\tauτ——碰撞平均时间来描述（γ≡1τ\gamma\equiv\frac{1}{\tau}γ≡τ1）;

此时该自由电子气中的电子满足方程mx¨+mγx˙=−eEm \ddot{\mathbf{x}}+m \gamma \dot{\mathbf{x}}=-e \mathbf{E}mx¨+mγx˙=−eE。

自由电子气介电函数为ε(ω)=1−ωp2ω2+iγω\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}+i \gamma \omega}ε(ω)=1−ω2+iγωωp2，其中ωp=ne2ε0m\omega_{\mathrm{p}}=\sqrt\frac{n e^{2}}{\varepsilon_{0} m}ωp=ε0mne2为等离子体频率，表征了等离子体在内部电场作用下的振动频率。

自由电子气介电函数推导

利用傅里叶展开（将平面波代入方程）得到电场与电子位移关系，进而得到电场E\mathbf{E}E与电子极化P\mathbf{P}P之间的关系，即介电函数ε(w)\varepsilon(w)ε(w)。

将平面波解代入运动方程得到，
x(t)=em(ω2+iγω)E(t)\mathbf{x}(t)=\frac{e}{m\left(\omega^{2}+i \gamma \omega\right)} \mathbf{E}(t) x(t)=m(ω2+iγω)eE(t)通过极化率定义式可得P=−neX\mathbf{P}=-n e \mathbf{X}P=−neX，以及电位移矢量与介电函数的关系式D=ε0E+P\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}D=ε0E+P，D=ε0εE\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}D=ε0εE，可得，
ε(ω)=1−ωp2ω2+iγω\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}+i \gamma \omega} ε(ω)=1−ω2+iγωωp2自由电子气介电函数的实部为了色散项，可以理解成波在自由电子气中相速度vpv_pvp相对于真空vp=cv_p=cvp=c发生变化，虚部代表了电子极化位移x\mathbf{x}x与驱动电场E\mathbf{E}E的相位差，电子极化位移存在相位滞后。（介电函数的虚部与电磁波的吸收没有直接关系，电磁波的吸收与波矢k\mathbf{k}k的虚部直接相关。）

三维自由电子气本征振动是频率为wpw_pwp的纵波模式（长波极限，波矢k\mathbf{k}k=0），因此无法与电磁横波相耦合。电子集体振动量子化单位称为等离激元（plasma）。

20190408-相速度和群速度、傅里叶变换与波动方程的色散关系、介电常数与电导、介电函数与折射率、散度定理、电子迁移率、电磁波波动方程、自由电子气的介电函数相关推荐

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