傅立叶变换分为傅立叶级数和连续傅立叶变换

１　傅里叶级数

傅立叶级数适用于周期性函数，它能够将任何周期性函数分解成简单震荡函数的集合（正弦函数和余弦函数）。

１.１　频域和时域

举个例子，比如说下图：

紫色图像是一个周期函数，粉丝图像是将周期函数分解成多个简单震荡函数。

所以这个周期函数用数学公式可以表达为：

上图中的信号是随着时间变换的，所以称之为时域（Time domain）

上图就是频域（Frequency Domain）。

频域和时域本质上是一样的，不过是从另外一个角度去描述信号。

１.２　傅里叶级数的标准正交基

给出傅立叶级数的公式：

φ在ｎ取奇数和偶数的时候分别是０和１

我们将公式稍作变换：

正交基的性质就是，向量乘以正交基的结果就是对应的在这个基下的维度值

１.３　正交性证明

判断两个向量是否正交可以用向量点乘求和等于 0 来判断，这种方法我们称为点积（内积）：

与向量点积不同的是，函数是连续的，假设现在有两个函数 f 和 g，周期为 2Π，我们也想用上述连续累加的方式来使得函数内积和向量内积的概念一致，而积分正是函数累加的概念，所以我们有：

对于上面我们说的傅立叶变换后的正交基，我们容易得到：

１．３．１　１与ｓｉｎ（ｎωｔ）、１与ｃｏｓ（ｎωｔ）正交

１．３．２　ｓｉｎ（ｎωｔ）与ｃｏｓ（ｍωｔ）正交

先回顾一下积化和差公式

１．３．３　ｓｉｎ（ｎωｔ）与ｓｉｎ（ｍωｔ）正交

ｃｏｓ（ｎωｔ）与ｃｏｓ（ｍωｔ）正交的证明方法同理

２　傅里叶变换

刚刚说的都是周期性函数，但现实中大部分函数都是非周期的，那如果涉及到非周期性函数该怎么办呢？这时候就需要傅里叶变换

２.１　欧拉公式

在介绍非周期性函数之前，我们先简单介绍下欧拉公式。

所以坐标轴上的点现在有了另一种表示方式：

左边图是我们看到的旋转频率（频域）

右边图看到是时间流逝（时域）

神奇的是，正好和我们刚刚介绍的（从时域变换到频域）相反。

也就是说，时域和频域其实是可以相互转换的。

２.２　傅里叶变换

们可以将非周期函数考虑为周期无穷大的函数，考虑频域中的横坐标：ｆ＝１／Ｔ，当周期 T 无穷大大时，频域图就从离散点变为连续的曲线，如下图：

每一个都代表了一组ｓｉｎ和ｃｏｓ的正交基（ｓｉｎωｔ和ｃｏｓωｔ）内积的结果就是在这两个正交基上的分量。

从负无穷到正无穷就是拆分成所有周期的ｓｉｎ和ｃｏｓ

２.３　傅里叶逆变换

傅里叶变换是将信号拆成多个正弦信号。

傅里叶逆变换就是再把正弦信号逆变换为原来信号的过程。

3 傅里叶变化的应用

一个很经典的例子就是：分离、降噪。

如果男生和女生一起说话，该如何分离出两者的声音呢？

答案就是对这一段声音（时域）做傅立叶变换转换到频率。男女生的声音频率不同，在频域中，低频为男生，中频为女生，高频可能为噪音，我们可以根据需要去除中频和高频的信号，并将其进行逆变换，这样便分离出了男生的声音。

参考网站

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