UA SIE545 优化理论基础1 例题4 证明一个集合是闭集

闭集在分离定理中有非常广泛的应用，很多条件均要求闭凸集，因此验证一个集合是闭集的技术是比较重要的。

Closure clScl SclS such that ∀x∈clS\forall x \in clS∀x∈clS,S∩Nϵ(x)≠ϕ,∀ϵ>0S \cap N_{\epsilon}(x) \ne \phi,\forall \epsilon>0S∩Nϵ(x)=ϕ,∀ϵ>0
Closed set S=clSS=clSS=clS, clSclSclS is the closure of SSS
Equivalent conditions of closed set

∂S⊆S\partial S \subseteq S∂S⊆S
If {xk}⊂S\{x_k\} \subset S{xk}⊂S converges to x∗x^*x∗, then x∗∈Sx^* \in Sx∗∈S.

例1 闭半空间是闭集
证明
考虑S={x∈Rn:pTx≤β}S=\{x \in \mathbb{R}^n:p^Tx \le \beta\}S={x∈Rn:pTx≤β}，下面证明SSS是闭集。假设{xn}⊂S\{x_n\} \subset S{xn}⊂S，并且lim⁡n→∞xn=x∗\lim_{n \to \infty}x_n=x^*limn→∞xn=x∗，验证x∗∈Sx^* \in Sx∗∈S。因为∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N, xn∈Sx_n \in Sxn∈S, 所以pTxn≤βp^Tx_n \le \betapTxn≤β。定义fn=pTxnf_n = p^Tx_nfn=pTxn，根据极限的线性性与单调性：
lim⁡n→∞fn=pT(lim⁡n→∞xn)=pTx∗≤β\lim_{n \to \infty}f_n = p^T \left( \lim_{n \to \infty}x_n \right) = p^Tx^* \le \betan→∞limfn=pT(n→∞limxn)=pTx∗≤β

因此x∗∈Sx^* \in Sx∗∈S，即SSS是闭集。
证毕

例2 多面体是闭集
证明
考虑S={x∈Rn:Ax≤b}S=\{x \in \mathbb{R}^n:Ax \le b\}S={x∈Rn:Ax≤b}，下面证明SSS是闭集。假设{xn}⊂S\{x_n\} \subset S{xn}⊂S，并且lim⁡n→∞xn=x∗\lim_{n \to \infty}x_n=x^*limn→∞xn=x∗，验证x∗∈Sx^* \in Sx∗∈S。因为∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N, xn∈Sx_n \in Sxn∈S, 所以Axn≤bAx_n \le bAxn≤b。定义fn=Axnf_n = Ax_nfn=Axn，根据极限的线性性与单调性：
lim⁡n→∞fn=A(lim⁡n→∞xn)=Ax∗≤b\lim_{n \to \infty}f_n = A \left( \lim_{n \to \infty}x_n \right) = Ax^* \le bn→∞limfn=A(n→∞limxn)=Ax∗≤b

因此x∗∈Sx^* \in Sx∗∈S，即SSS是闭集。
证毕

例3 S1={λd1:λ≥0},S2={λd2:λ≥0}S_1=\{\lambda d_1:\lambda \ge 0\},S_2=\{\lambda d_2:\lambda \ge 0\}S1={λd1:λ≥0},S2={λd2:λ≥0}，证明S1⊕S2S_1 \oplus S_2S1⊕S2是闭集
证明
假设{xn}⊂S1⊕S2\{x_n\} \subset S_1 \oplus S_2{xn}⊂S1⊕S2，并且lim⁡n→∞xn=x∗\lim_{n \to \infty}x_n=x^*limn→∞xn=x∗，验证x∗∈S1⊕S2x^* \in S_1 \oplus S_2x∗∈S1⊕S2。∀xn∈S1⊕S2\forall x_n \in S_1 \oplus S_2∀xn∈S1⊕S2, ∃λ1n,λ2n≥0\exists \lambda_{1n},\lambda_{2n} \ge 0∃λ1n,λ2n≥0, xn=λ1nd1+λ2nd2x_n=\lambda_{1n}d_1+\lambda_{2n}d_2xn=λ1nd1+λ2nd2，因此lim⁡n→∞xn=x∗\lim_{n \to \infty}x_n=x^*limn→∞xn=x∗，说明∃lim⁡n→∞λ1n=λ1,∃lim⁡n→∞λ2n=λ2\exists \lim_{n \to \infty}\lambda_{1n}=\lambda_1,\exists \lim_{n \to \infty}\lambda_{2n}=\lambda_2∃limn→∞λ1n=λ1,∃limn→∞λ2n=λ2, x∗=λ1d1+λ2d2∈S1⊕S2x^*=\lambda_1 d_1 + \lambda_2 d_2 \in S_1 \oplus S_2x∗=λ1d1+λ2d2∈S1⊕S2，所以S1⊕S2S_1 \oplus S_2S1⊕S2是闭集。
证毕

例4 C(K)={y∈Rn:yTx≥0,∀x∈K⊂Rn}C(K)=\{y \in \mathbb{R}^n:y^Tx \ge 0,\forall x \in K \subset \mathbb{R}^n\}C(K)={y∈Rn:yTx≥0,∀x∈K⊂Rn}是闭集。
证明
假设{yn}⊂C(K)\{y_n\} \subset C(K){yn}⊂C(K)，并且lim⁡n→∞yn=y∗\lim_{n \to \infty}y_n=y^*limn→∞yn=y∗，验证y∗∈C(K)y^* \in C(K)y∗∈C(K)。∀yn∈C(K)\forall y_n \in C(K)∀yn∈C(K), ∀x∈K\forall x \in K∀x∈K, ynTx≥0y_n^Tx \ge 0ynTx≥0,
lim⁡n→∞ynTx=(lim⁡n→∞yn)Tx=(y∗)Tx≥0,∀x∈K\lim_{n \to \infty} y_n^Tx = (\lim_{n \to \infty}y_n)^Tx = (y^*)^Tx \ge 0,\forall x \in Kn→∞limynTx=(n→∞limyn)Tx=(y∗)Tx≥0,∀x∈K

因此y∗∈C(K)y^* \in C(K)y∗∈C(K)，所以C(K)C(K)C(K)是闭集。
证毕

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