HDU4307(最小割)

题目：Matrix

之所以能够用最大流解决这个问题，关键在于最大流可以求解下面这个函数的最小值：

接下来就分析一下如何用最大流求解上面这个函数的极值。

首先xi一共只有两种选择，那么最终可以按xi的取值将xi划分成两个集合，那么如果xi在值为1的集合里，xj在值为0的集合里，那么就会

产生一个代价cij。同时如果xi选择0就会产生一个bi的代价，如果xi选择1就会产生一个ai的代价。于是构造一个源点S，汇点T做最小

割，不妨假设做完最小割之后值为1的xi的集合是和S相连的部分，值为0的xi的集合是和T相连的部分。

由于表达式中有三项，我们用三种割边来分别描述这三项的值。一种是xi选择了1，这样就不能选择0，需要把xi-T这条边割掉，由于xi

选择1会产生ai的代价，那么就把这条边的容量设为ai。另一种是xi选择了0，这样就不能选择1，需要把S-xi这条边割掉，由于xi选择0会

产生bi的代价，那么就把这条边的容量设为bi。最后一种是xi选择了1，xj选择了0，这样xi和xj不能在同一个集合中，需要把xi-xj这条边割

掉，由于xi选择1，xj选择0产生cij的代价，那么就把这条边的容量设为cij。这样对建好的图做最小割就可以得到上面哪个函数的最小

值。

接着我们分析这个题目如何转化成上面这种模型。首先我们将D的表达式赤裸裸地写出来：

这种形式必然不能看出来和上面那个表达式有什么关系，于是我们继续将其化简：

如果令f等于最后一行括号里的内容，那么发生了什么？如果ai选择0会产生sum{bij}(1<=j<=N)的代价，如果ai选择1会产生ci的代价，如

果ai选择1且aj选择0就会产生bij的代价。这样就完全转化成了上面的模型。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N=2050;
const int M=2500000;
const int INF=0x7fffffff;
int e;
int ver[M],next[M],flow[M];
int head[N],work[N],dis[N],q[N];
void init()
{
e=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int c)
{
ver[e]=v;flow[e]=c;next[e]=head[u];head[u]=e++;
ver[e]=u;flow[e]=0;next[e]=head[v];head[v]=e++;
}
int bfs(int S,int T)
{
int rear=0;
memset(dis,-1,sizeof(dis));
dis[S]=0;q[rear++]=S;
for(int i=0;i<rear;i++)
{
for(int j=head[q[i]];j!=-1;j=next[j])
{
if(flow[j]&&dis[ver[j]]==-1)
{
dis[ver[j]]=dis[q[i]]+1;
q[rear++]=ver[j];
if(ver[j]==T) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int cur,int a,int T)
{
if(cur==T) return a;
for(int &i=work[cur];i!=-1;i=next[i])
{
if(flow[i]&&dis[ver[i]]==dis[cur]+1)
{
int t=dfs(ver[i],min(a,flow[i]),T);
if(t)
{
flow[i]-=t;
flow[i^1]+=t;
return t;
}
}
}
return 0;
}
long long Dinic(int S,int T)
{
long long ans=0;
while(bfs(S,T))
{
memcpy(work,head,sizeof(head));
while(int t=dfs(S,INF,T)) ans+=t;
}
return ans;
}
int main()
{
long long sum;
int t,n,x,a,S,T;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
init();
S=0;T=n+1;
sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&x);
a+=x;
add(i,j,x);
}
sum+=a;
add(S,i,a);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
add(i,T,x);
}
printf("%I64d\n",sum-Dinic(S,T));
}
return 0;
}

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