最小割 ---- 集合冲突模型

集合冲突模型

1.问题形式
有 n 个物品和两个集合 S,T。将一个物品放入 S 集合会花费 ai，放入 T 集合会花费 bi。还有若干个形如 u,v,w 限制条件，表示如果 u 和 v 同时不在一个集合会花费 w。每个物品必须且只能属于一个集合，求最小的代价。
2.解决方法

我们对于每个集合设置源点 S 和汇点 T
第 i 个点由 S 连一条容量为 bi的边、向 T 连一条容量为 ai的边。
对于限制条件 u,v,w，我们在 u,v 之间连容量为 w 的双向边。
注意到当 S 和 T 不相连时，S 能到达 i 代表物品 i 放入 S，i 能到达 T 代表物品 i 放入 T。
当割开 S→i 的边，意味着 i 放入 T；当割开 i→T 的边，意味着 i 放入 S；
当割开 u,v 之间的边，意味着 u,v 不放入同一个集合。因此最小割就是最小花费。

对于每个割集都对应一种集合划分方式
就是把1和2都放道T里面

这个是把1和2放到S里面

这是把1和2分开放！！

bzoj1934

题目大意：

n个人有两种不同的意见并且有许多朋友，需要让朋友间尽可能的统一意见（少发生冲突），如果一个人违反自己的本意也算冲突，求最少的冲突？

解题思路：

首先把人分成两份，意见为1的与源点连边，容量为1，否则与汇点连边，容量也设为1，表示更改自己意见的代价。
接着对每一对朋友之间连一条双向边，容量为1，表示朋友之间的冲突。

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 500010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args)  {read(first);read(args...);
}
struct node {int to, next, len;
}e[maxn];
int head[maxn], cnt;
int n, m, s, t;
inline void add(int from, int to, int len) {e[cnt] = {to,head[from],len};head[from] = cnt ++;
}int dp[maxn];
int arr[maxn], num;
int maxs = -1;int d[maxn],cur[maxn];
int pre[maxn], flow[maxn];bool bfs() {ms(d,0);queue<int> q;q.push(s); d[s] = 1;while(!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {int v = e[i].to;if(d[v] || e[i].len <= 0) continue;q.push(v);d[v] = d[u] + 1;}}      for(int i = 0; i <= n; ++ i) cur[i] = head[i];return d[t] != 0;
}int dfs(int u, int flow) {if(u == t) return flow;for(int &i = cur[u]; ~i; i = e[i].next) {int v = e[i].to;if(d[u] + 1 != d[v] || e[i].len <= 0) continue;int delta = dfs(v,min(flow,e[i].len));if(delta <= 0) continue;e[i].len -= delta;e[i^1].len += delta;return delta;}return 0;
}int get_maxflow() {int maxFlow = 0, delta;while(bfs())//bfs进行构建最短路网络while(delta = dfs(s,INF))maxFlow += delta;return maxFlow;
}int main() {int tn, tm; scanf("%d%d", &tn, &tm);s = 0, t = tn + 1;n = t;memset(head, -1, sizeof head);for(int i = 1;i <= tn; ++ i){int x;scanf("%d", &x);if(x)add(s, i, 1),add(i, s, 0);else add(i, t, 1), add(t, i, 0);}while(tm --){int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y, 1);add(y, x, 1);}printf("%lld\n",get_maxflow());return 0;
}

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