最小割 ---- 集合冲突模型 ---- AGC038 F

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题目大意：

给出两个排列P,QP,QP,Q.要求构造两个排列A,B.A,B.A,B.
要求:AiAiAi要么等于iii,要么等于PiPiPi;BiBiBi要么等于iii,要么等于QiQiQi
最大化Ai≠BiAi≠BiAi=Bi的下标iii数量

1e5我都不敢相信这也可以用网络流！！！
这道题看起来无从下手那么我们就分类讨论来看一下
但是发现直接讨论Ai≠BiA_i≠B_iAi=Bi很麻烦，那么问题先变成球最小化Ai=BiA_i=B_iAi=Bi再用nnn减掉就好了

Pi=Qi=iP_i=Q_i=iPi=Qi=i 这个时候无论你选什么Ai一定是等于BiA_i一定是等于B_iAi一定是等于Bi
Pi=i&&Qi≠iP_i=i\&\&Q_i≠iPi=i&&Qi=i 那么如果Oi=iO_i=iOi=i的话那么这里就会有1个的相等的位置
Qi=1&&Pi≠iQ_i=1\&\&P_i≠iQi=1&&Pi=i 那么如果这里Pi=iP_i=iPi=i的话那么这里就会有1个相等的位置
Qi≠Pi≠iQ_i≠P_i≠iQi=Pi=i 那么只有Pi=Qi=iP_i=Q_i=iPi=Qi=i的时候才会有一个相等的位置
Qi=PI≠iQ_i=P_I≠iQi=PI=i那么只要取Pi和QiP_i和Q_iPi和Qi 或者都取iii的时候那么就是有1个相等的位置

但是有一点就是因为Ai和BiA_i和B_iAi和Bi也是全排列!!
注意原题的排列是从0开始的,为讨论方便,我们统一转化为从1开始的。
考虑对于每个排列,把i向Pi连边,那么就会形成很多个环。比如排列3,2,4,1{3,2,4,1}3,2,4,1,其中3,4,1和2分别形成两个环1−3−4−1和2−2。我们令Ai=PiA_i=P_iAi=Pi,实际上就是把环上的数Pi选转过来(当然理解成把i转过来也可以,只是环上点权设置的问题).。对于一个环，环上的点选择的方案应该是一致的(全都等于i或全都不等于i),否则就会存在某个数不合法。

现在我们令两个集合S,TS,TS,T。
对于PPP数组中的第iii个数PiP_iPi如果放入S集合里面相当于AiA_iAi选PiP_iPi，放入T集合相当于AiA_iAi选iii
对于QQQ数组就反过来，如果放入S集合里面相当于BiB_iBi选iii，放入T集合相当于BiB_iBi选QiQ_iQi

那么上面的问题就可以转化了
因为是求最小化的位置相同个数！
那么就是最小割，对于每条边我们都赋予割了它的实际意义，那么满足的最小化就是最小割了！！

因为对于同一个轮换里面的位置选的都是一样的那么我们直接用轮换的下标去代替就好了

Pi=Qi=iP_i=Q_i=iPi=Qi=i 这个时候无论你选什么Ai一定是等于BiA_i一定是等于B_iAi一定是等于Bi ans 直接减1
Pi=i&&Qi≠iP_i=i\&\&Q_i≠iPi=i&&Qi=i 那么如果Qi=iQ_i=iQi=i的话那么这里就会有1个的相等的位置，那么就是QiQ_iQi放到S集合里面代价是1，反过来放在T集合就是代价就是0；
Qi=1&&Pi≠iQ_i=1\&\&P_i≠iQi=1&&Pi=i 那么如果这里Pi=iP_i=iPi=i的话那么这里就会有1个相等的位置,同理！
Qi=PI≠iQ_i=P_I≠iQi=PI=i那么只要取Pi和QiP_i和Q_iPi和Qi 或者都取iii的时候那么就是有1个相等的位置,那么按照上的集合划分就是在如果Pi和QiP_i和Q_iPi和Qi在不同的集合里面代价为1.
Qi≠Pi≠iQ_i≠P_i≠iQi=Pi=i 那么只有Pi=Qi=iP_i=Q_i=iPi=Qi=i的时候才会有一个相等的位置,那么就是PiP_iPi在S集合里面,QiQ_iQi在T集合里面

那么就参考集合冲突模型的建图模型

直接建图就可以了！！
Qi−>T流量为1Q_i->T流量为1Qi−>T流量为1 S−>Pi流量为0S->P_i流量为0S−>Pi流量为0
Qi−>T流量为0Q_i->T流量为0Qi−>T流量为0 S−>Pi流量为1S->P_i流量为1S−>Pi流量为1
Pi−>Qi流量为1P_i->Q_i流量为1Pi−>Qi流量为1 Qi−>Pi流量为1Q_i->P_i流量为1Qi−>Pi流量为1
Qi−>Pi流量为1Q_i->P_i流量为1Qi−>Pi流量为1

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = N;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args)  {read(first);read(args...);
}
struct node {int to, next, len;
}e[maxn];
int head[maxn], cnt;
int n, m, s, t;
inline void add(int from, int to, int len) {e[cnt] = {to,head[from],len};head[from] = cnt ++;
}int d[maxn],cur[maxn];
int pre[maxn], flow[maxn];bool bfs() {ms(d,0);queue<int> q;q.push(s); d[s] = 1;while(!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) {int v = e[i].to;if(d[v] || e[i].len <= 0) continue;q.push(v);d[v] = d[u] + 1;}}      for(int i = 0; i <= n; ++ i) cur[i] = head[i];return d[t] != 0;
}int dfs(int u, int flow) {if(u == t) return flow;for(int &i = cur[u]; ~i; i = e[i].next) {int v = e[i].to;if(d[u] + 1 != d[v] || e[i].len <= 0) continue;int delta = dfs(v,min(flow,e[i].len));if(delta <= 0) continue;e[i].len -= delta;e[i^1].len += delta;return delta;}return 0;
}int get_maxflow() {int maxFlow = 0, delta;while(bfs())//bfs进行构建最短路网络while(delta = dfs(s,INF))maxFlow += delta;return maxFlow;
}
int P[maxn], Q[maxn];
int Cle;//统计环的个数
int idp[maxn]; // p数组中每个数在哪个环里面
int idq[maxn]; // q数组中每个数在哪个
int main() {IOS;ms(head,-1);int tn;cin >> tn;for(int i = 1; i <= tn; ++ i)cin >> P[i], P[i] ++;for(int i = 1; i <= tn; ++ i)cin >> Q[i], Q[i] ++;for(int i = 1; i <= tn; ++ i) {if(idp[i]) continue;Cle ++;int idx = i;do {idp[idx] = Cle;idx = P[idx];}while(idx != i);}for(int i = 1; i <= tn; ++ i) {if(idq[i]) continue;Cle ++;int idx = i;do {idq[idx] = Cle;idx = Q[idx]; }while(idx != i);}int ans = tn;s = 0, t = Cle+1;n = 2*tn+1;for(int i = 1; i <= tn; ++ i) {if(P[i] == i && Q[i] == i) ans --;else if(P[i] == i) {add(idq[i],t,1);add(t,idq[i],0);//可有可不有add(s,idq[i],0);add(idq[i],s,0);} else if(Q[i] == i) {add(s,idp[i],1);add(idp[i],s,0);//可有可不有add(idp[i],t,0);add(t,idp[i],0);} else if(Q[i] == P[i]) {add(idp[i],idq[i],1);add(idq[i],idp[i],0);add(idq[i],idp[i],1);add(idp[i],idq[i],0);} else {add(idq[i],idp[i],1);add(idp[i],idq[i],0);}}cout << ans - get_maxflow();return 0;
}

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